Zadání 2. série 7. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Tři středověcí mniši dostali za úkol opsat 600 stran Bible. Jeden zvládne přepsat za 3 dny 2 strany, druhý za 2 dny 3 strany a třetí za 4 dny 6 stran. S přepisováním začali ve středu. V pondělí se k nim přidal další mladý mnich, který dokáže opsat za 1 den jen $0{,}5$ strany. Vypočítejte, za kolik dnů od středy společně opíší všechny stránky.

Na Matfyzu si velmi váží Výfuku, a proto se rozhodli sestrojit pohybující se soustavu ozubených kol s obrázkem Výfučka, která bude zdobit hlavní budovu. První kolečko bude mít 21 zubů, druhé 25 zubů, třetí 15 zakulacených zubů, čtvrté kolečko bude s 9 zuby. Poslední páté kolečko má mít pouhých 7 zubů. Všechna kolečka se mají točit zároveň a zapadat do sebe podle obrázku. Kolikrát se otočí každé z nich, než si budeme moci opět prohlédnout Výfučka jako na začátku?

Tom viděl na nedávné pouti podivný magický trik. Zdejší kouzelník naládoval pušku olověnou kulkou, zamířil na obrovský terč a vystřelil. Ačkoliv obecenstvo dosvědčilo, že náboj puška skutečně vystřelila, po nárazu nebylo po kulce ani stopy.

Toma po chvilce přemýšlení napadlo, že by trik mohl být způsoben tím, že se olověná kulka jednoduše roztavila. Pomozte Tomovi vypočítat minimální rychlost kulky v okamžiku nárazu do terče, jestliže zjistil, že kulka váží $0{,}5\,\mathrm{g}$, měrná tepelná kapacita olova je $129\,\mathrm{J\!\cdot\! kg^{-1}\!\cdot\! K^{-1}}$, měrné skupenské teplo tání olova je $23{,}2\cdot 10^{3}\,\mathrm{J\!\cdot\! kg^{-1}}$, teplota tání olova je $328\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a okolní teplota je $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Také pro zjednodušení uvažujte, že terč byl tak pevný, že se s ním nic nestalo, a proto se všechna kinetická energie přeměnila na teplo, které kulku ohřálo.

Peťa se vrátila z procházky celá zmrzlá a ráda by si dala horkou koupel. V koupelně má bojler s účinností $\eta=80\,\mathrm{\%}$, který je připojen do zásuvky s efektivním napětím $U_{\mathrm{ef}} = 230\,\mathrm{V}$ a při svém provozu spotřebovává proud o efektivní hodnotě $I_{\mathrm{ef}}=10\,\mathrm{A}$ .¹ Peťa si napustí ze studny do bojleru $100\,\mathrm{l}$ vody o teplotě $15\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Chtěla by koupel o teplotě $40\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Za jak dlouho se jí ohřeje voda na napuštění vany, jestliže ji napouští pouze z bojleru? Tepelné ztráty do okolí zanedbejte.

Při čekání na ústní část zkoušky si Simča chtěla zkrátit dlouhou chvíli, a tak si pohazovala mincí vážící $m = 10\,\mathrm{g}$. Za chvilku ji napadlo, jak vysoko by musela mincí hodit, aby jí po 10 minutách, kdy Simči začíná zkouška, spadla do druhé dlaně.

1. Jak vysoko musí mince vyletět, aby Simči spadla za 10 minut do druhé dlaně, která je od házející dlaně vzdálena 15 centimetrů? Uvažujte, že tíhové pole se podél celé dráhy letu mince nebude měnit.

2. Jaká bude počáteční rychlost mince ve svislém a ve vodorovném směru?

3. Jakou práci Simča hodem vykoná?

V mnoha úlohách se můžete setkat s koeficientem tření a s výpočty třecích sil z normálových sil, které jsou v našich úlohách často ztělesněné silami tíhovými. Často jsou tyto koeficienty zadány, jak se ale vlastně dají změřit?

Klidové koeficienty tření (tj. koeficienty potřebné k výpočtu síly nutné k rozpohybování těles ¹) jsou závislé na materiálech, které se po sobě třou. Proto je potřeba je změřit pro každé dva materiály zvlášť. Změřte tyto klidové koeficienty tření pro alespoň dvě různé dvojice materiálů.

Nezapomeňte popsat všechny důležité kroky svého měření, včetně konstrukce měřicího zařízení, vzorců, které jste použili, a konstant potřebných k výpočtům. Odhadněte či spočítejte nepřesnost svého měření.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Kačka dostala novou sodíkovou katodu a rozhodla se, že si ji ozkouší. Posvítila na ni ultrafialovým světlem o vlnové délce $300\,\mathrm{nm}$ a pozorovala vyletující elektrony.

1. S jakou kinetickou energií vyletují elektrony z povrchu sodíkové katody, je-li výstupní práce elektronů v sodíku $3{,}7\cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$?

2. Jaká je rychlost každého z elektronů, je-li známo, že hmotnost jednoho je $9{,}1\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$?

3. Jaká je největší vlnová délka světla, kterým může Kačka na sodíkovou katodu svítit, aby byla schopna pozorovat vyletující elektrony?