Zadání 5. série 3. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

V Kátině oblíbeném lyžařském středisku jezdí dvě lanovky. Jednosedačková, která se pohybuje rychlostí $v_1 = 3\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ a velká čtyřsedačková, pohybující se rychlostí $v_2 = 1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Káťa změřila, že obě lanovky mají sedačky umístěné každých $d = 18\,\mathrm{m}$. Kolik nadšených lyžařů lanovka přepraví za hodinu provozu? Pod tímto číslem myslíme počet lidí, kteří stihnou během hodiny na lanovku nastoupit.

Na obrázku 1 je kulička a 2 siloměry ukazující sílu, kterou působí na kuličku. První siloměr ukazuje sílu o velikosti $F_1 = 18\,\mathrm{N}$, druhý sílu $F_2 = 24\,\mathrm{N}$. Dokreslete do obrázku třetí siloměr tak, aby výsledná síla působící na kuličku byla nulová. Kromě správného směru siloměru nezapomeňte vypočítat, jakou sílu bude tento siloměr ukazovat.

Petr o víkendu sledoval tramvaje ze zastávky u koleje. Všiml si, že tramvaje z centra města jezdí v pravidelných intervalech $t = 11\,\mathrm{minut}$. Po chvilce ho to přestalo bavit, a tak se Petr vydal pěšky do centra rychlostí $v = 1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Při chůzi ho zaujalo, že interval, ve kterém potkával tramvaje, je jiný než čas $t$. Doma si našel, že tramvaje z centra jezdí rychlostí $u = 36\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ a jeho údiv se vysvětlil. Pomocí zadaných hodnot vypočítejte časový interval $t_1$, ve kterém Petr potkával tramvaje během procházky. Neuvažujte zastavování tramvají na zastávkách.

Verča našla na půdě knihu dějepisu, ve které se psalo o jednom britském dobrodruhovi. Ten prý měl tak dobrý zrak, že z anglického pobřeží pozoroval francouzskou pevnost na druhé straně Lamanšského průlivu. Verča se ale zamyslela, jestli toto pozorování dovoluje samotné zakřivení Země. Zkuste se zamyslet i vy.

1. Označme bod, ze kterého náš dobrodruh Francii pozoroval, jako $\mathit{A}$ a místo pevnosti jako $\mathit{B}$. V knize se psalo, že vzdálenost těchto dvou bodů počítaná po zaobleném zemském povrchu byla $d = 180\,\mathrm{km}$. Spočtěte úhel $\alpha$, který odpovídá oblouku, jež tyto dva body vytínají spolu se středem Země.

2. Pokud je $\alpha < 5^\circ$, platí, že přímá vzdušná vzdálenost mezi body $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$ je prakticky stejná jako „oblá“ vzdálenost $d$. Je tento předpoklad splněn?

3. Víme-li, že náš dobrodruh byl v čase pozorování na kopci v nadmořské výšce $H = 500\,\mathrm{m}$, do jaké maximální vzdálenosti $x$ mohl dohlédnout kvůli zakřivení Země?

   Pomůcka: Nakreslete si obrázek.

4. S využitím předpokladu pro $\alpha$ a obrázku z předešlého bodu vypočítejte, jak vysoká by musela být pevnost ve Francii, aby ji bylo možné z Anglie pozorovat. To znamená, že vrcholek pevnosti musí zasahovat do prostoru, který může dobrodruh vidět.

Zemi považujte za kouli o poloměru $R = 6\,378\,\mathrm{km}$. Předpokládejte, že mezi body $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$ není žádná terénní překážka.

Každý správný fyzik musí pomáhat v kuchyni, i Péťa. Jednou ho při sypání mouky napadlo, jestli lze mouku nasypat do libovolně strmého kužele. Péťa ale neměl dostatek mouky, a proto by tuto informaci chtěl zjistit od vás. Z kartonu si vystřihněte kruh s poloměrem $5\,\mathrm{cm}$ a položte ho na hrníček nebo sklenici s menším poloměrem. Na tuto podložku pak začněte sypat z malé výšky hladkou mouku, dokud si nebudete jisti, že na podložce se vyšší násyp mouky neudrží. Pak změřte výšku násypu. Měření zopakujte alespoň třikrát a naměřené hodnoty zprůměrujte. Postup opakujte pro alespoň dva další sypké materiály, například cukr, sůl nebo hrubou mouku. Nakonec porovnejte naměřené hodnoty a zkuste vysvětlit rozdíly.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Pomocí vzorců ve Výfučtení rozepište výrazy \begin{align*} &\left(\frac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{e}^{-4}\right)^2\,, \\ &\log\left(\frac{10a}{c^3}\right) \end{align*} tak, aby v prvním zůstala jen jedna exponenciála a ve druhém se nevyskytovaly zlomky ani mocniny.

2. Ve Výfučtení jsme si řekli, že pokud necháme vytékat kapalinu otvorem zespodu nádoby, výšku hladiny v závislosti na čase popisuje vztah \begin{equation*} h\left(t\right) = h_0 \mathrm{e}^{-kt}\,. \end{equation*} Jaká je konstanta $k$, pokud po čase $t = 40\,\mathrm{s}$ klesla výška hladiny v takovéto nádobě z počáteční výšky $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ na polovinu? Za jaký čas od této události klesne hladina v nádobě na $10\,\mathrm{\%}$ původní výšky?