Zadání 5. série 6. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Třídní učitelka VII.B je matikářka a ráda si z dětí utahuje. Na konci ledna, než rozdala vysvědčení, je potrápila následující hádankou: 18 žáků dostalo z češtiny jedničku. Jedničku jako známku z matematiky obdrželo pouze 10 žáků. Jaký je nejmenší počet dětí, kteří mají z obou předmětů výbornou, víte-li, že dětí je ve třídě celkem 26. Nejvíce kolik dětí nezískalo jedničku ani z jednoho z předmětů?

Na dvou vodorovných kolejích je položen válec o poloměru $r = 15\,\mathrm{cm}$. Válec se po nich pohybuje bez prokluzování. Na válec položíme provaz o délce $l = 2\,\mathrm{m}$ tak, že je na jedné straně uchycen na stěně ve výšce $30\,\mathrm{cm}$ nad kolejemi a jeho druhá část volně visí dolů (viz obrázek 1 ). Střed válce je vzdálen od stěny $1\,\mathrm{m}$. Na volném konci je zavěšeno závaží o hmotnosti $m = 250\,\mathrm{g}$. Nyní provaz přitáhneme ke stěně o $50\,\mathrm{cm}$. Jak se změní výška závaží?

Ve výfučkomutí jeskyni žije zvláštní druh housenek. Ty žijí společně ve velkých skupinách a stejně tak se spolu vydávají za potravou. Cestu k potravě mají ale poněkud nestandardní, neboť cestují ve dvou vrstvách na sobě.

Dolní vrstva housenek leze po zemi rychlostí $v = 1\,\mathrm{cm\!\cdot\! s^{-1}}$, zatímco horní vrstva se pohybuje po dolní vrstvě opět rychlostí $v$. Když se housenka z horní vrstvy dostane až úplně dopředu, tak seskočí dolů a zařadí se do vrstvy spodní. Naopak, poslední housenka ve spodní vrstvě vyleze do horní vrstvy. Housenek je mnoho a jsou velmi malé. Jeden housenkový útvar má délku $d = 3\,\mathrm{m}$ a v porovnání s ním má jediná housenka zanedbatelnou délku.

Když se na konci dne skupina housenek vrací z pastvy zpět do jeskyně, uspořádají se do svého útvaru tak, že jejich předek je vzdálen od vstupu do jeskyně o $l = 15\,\mathrm{m}$. Za jak dlouho proleze vstupem do jeskyně housenka, která se na začátku nachází na konci útvaru, tzn. housenka, která právě nastupuje na horní vrstvu housenek?

Viktor rád lyžuje, a tak jednou začal přemýšlet, jak efektivní je přeprava lanovkou. Na lanovce je $n = 100$ čtyřsedaček. Přepravní kapacita lanovky je $k = 2\,400$ osob za hodinu. Jakou efektivní účinnost má lanovka (tedy jaký je poměr výkonu určeného k vytahování osob k celkovému výkonu lanovky), jestliže délka lanovky je $l = 850\,\mathrm{m}$, lanovka překonává převýšení $h = 180\,\mathrm{m}$ a motor lanovky vyvine tažnou sílu $F = 60\,\mathrm{kN}$? Můžete uvažovat, že všechny sedačky jezdí plně obsazené a ve stanici se téměř nezdržují. Hmotnost průměrného lyžaře je $m = 80\,\mathrm{kg}$.

Pavla se o víkendu rozhodla studovat tlakové a vztlakové síly. Vzala si proto malou kuličku s hustotou $\rho = 500\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$ a nechala ji plovat na hladině vody o hustotě $\rho_{\mathrm{v}} = 1\,000\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$.

1. Jaká část objemu kuličky je ponořená pod vodní hladinu?

2. Tento pokus Pavle přišel brzo nudný. Rozhodla se sestavit si ponorku. Její konstrukce byla velmi jednoduchá. Vzala si obyčejnou sklenici s hmotností $m = 0{,}5\,\mathrm{kg}$ a objemem $V_0 = 550\,\mathrm{ml}$, kterou otočila dnem nahoru a opatrně ponořovala do vody. Pavla sledovala, jak se s rostoucí hloubkou vzduch v sklenici stlačuje a do sklenice stoupá voda. Je-li vzduch dostatečně stlačen, sklenice zůstane ve vodě plovat. Zjistěte, na jaký tlak musí být vzduch ve skleničce stlačen. Zanedbejte hmotnost vzduchu a objem skla, ze kterého je sklenice vyrobena. Atmosférický tlak v době experimentu byl $p_0 = 101\,000\,\mathrm{Pa}$.

3. Pavla si správně uvědomila, že stlačování vzduchu má na svědomí hydrostatický tlak odpovídající rozdílu mezi volnou hladinou vody a hladinou vody v její ponorce $h$ (vizte obrázek 1). Vypočítejte tento výškový rozdíl.

4. Pavla pokus s ponorkou zopakovala ještě jednou, ale tentokrát nechala v ponorce plovat svoji kuličku. Jaká část objemu kuličky bude ponořena pod hladinou vody v ponorce?

5. Uvažujme, že Pavla ponorku potápí rovnoměrnou rychlostí. Odhadněte, zda-li bude kulička během potápění ponořena více nebo méně než na jeho konci.

Tomáš našel v lékárničce stříkačku o objemu $50\,\mathrm{ml}$. Aby si ji vyzkoušel, stříkal z ní vodu. Tu ho náhle napadlo, že by chtěl vědět maximální rychlost, kterou je schopen vodu z jeho stříkačky vystříknout.

Pomozte mu a experimentálně změřte tuto veličinu (rychlost vody, která vylétá ze stříkačky, v metrech za sekundu). Snažte se použít podobný objem stříkačky, jako použil Tomáš. Jako obvykle provedení svého experimentu pečlivě popište a měření několikrát opakujte.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Ve Výfučtení uvádíme, že odvození Snellova zákona z Fermatova principu nejmenšího času je náročné. Zkusme tedy ověřit obrácené tvrzení.

V našem zjednodušeném modelu položme rychlost světla ve vakuu rovnou $c = 1\,\mathrm{cm\!\cdot\! s^{-1}}$. Uvažujme dále dva body $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$, které umístíme na čtvercovou síť do bodů $\mathit{A} = [0\,\mathrm{cm};4\,\mathrm{cm}]$ a $\mathit{B} = [10\,\mathrm{cm};-4\,\mathrm{cm}]$, každý do jiného optického prostředí (vizte obrázek 1). Index lomu bílé části mříže je $n_0 = 1$, index lomu šedé části je $n_1 = \sqrt{3} \doteq 1{,}73$.

1. Uvažujme jedenáct různých paprsků (viz obrázek 1), které se šíří mezi body $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$. Vypočítejte pro každý z paprsků čas jeho letu v sekundách a výsledné hodnoty zakreslete do grafu (na vodorovnou osu můžete vynést $x$-ovou souřadnici místa, ve kterém paprsek prošel přes rozhraní optických prostředí).

2. Mezi vypočítanými časy najděte ten nejmenší. Pečlivě změřte nebo vypočítejte úhel dopadu $\alpha$ a úhel lomu $\beta$.

3. Vypočítejte součiny $n_0 \sin\alpha$ a $n_1 \sin\beta$. Shodují-li se tyto hodnoty, pak platí Snellův zákon. Je tomu skutečně tak?