Zadání 3. série 4. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Na obrázku je půdorys rohové místnosti firmy Přířez. V oknech jsou vánoční ozdoby, které je třeba připojit k elektrické síti pomocí jediné zásuvky v místnosti. Kabely lze podle firemního nařízení pokládat jen na čáry vyznačené čtvercové sítě nebo podél stěn. Kabel od vánoční ozdoby má délku rovnou straně jednoho čtverečku sítě.

Dále máme k dispozici prodlužovací kabely, které jsou dlouhé 4 strany čtverečku sítě a na konci mají dvě zásuvky, do kterých se můžou zapojovat další prodlužovací kabely nebo vánoční ozdoby.

Prodlužovacích kabelů ale není nikdy dost, proto pro plný bodový zisk nalezněte řešení, které jich bude obsahovat co nejméně.

\paragraph{} Petr má před Vánocemi plné ruce práce, protože se rozhodl, že vánoční dárky vyrobí sám. Na jeden z nich potřebuje celkem $820$ plechových čtverečků o rozměrech $11\,\mathrm{cm} \times 11\,\mathrm{cm}$. V obchodě ale prodávají plech jen o rozměrech $100\,\mathrm{cm} \times 80\,\mathrm{cm}$. Kolik plechů si má Petr koupit, aby měl na čtverečky dostatek materiálu?

Používat výtahy na matfyzu je někdy pomalejší, než jít pěšky. Zvlášť když jedete do nižších pater, protože výtahům někdy trvá velmi dlouho, než k vám dorazí.

Představme si, že z přízemí se chceme dostat na čtvrté patro. Po schodech dokážeme jít rychlostí $v = 1{,}2\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$, výtah ale jezdí průměrnou rychlostí $u = 1{,}8\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Spočítejte, jak dlouhou dobu $t$ se nám vyplatí čekat na přivolaný výtah (tzn. že na čtvrté patro dorazíme dříve, než bychom tam došli pešky). Zanedbejte čas nastupování do výtahu, cestu na odpočívadlech, mezi schodišti apod.

Pavla a Verča se těší na Vánoce, a tak si doma vyrobily sněhuláky. Oba sněhuláci se skládají ze tří nepřekrývajících se částí s poloměry $1\,\mathrm{cm}$, $2\,\mathrm{cm}$ a $3\,\mathrm{cm}$. Pavla sněhuláka vyrobila z drátu (sněhulák se tedy skládá ze tří kružnic), Verča ho vystřihla z kartonu (sněhulák je tedy vyroben ze tří kruhů). Vypočtěte, který ze sněhuláků má těžiště níž a o kolik se liší polohy jejich těžišť.

Jednoho listopadového dne se David zamýšlel nad Archimédem a jeho slavným zákonem. Provedl proto pokus se dvěma válcovými nádobami.

1. První, větší z nich, měla obsah podstavy $S_1 = 300\,\mathrm{cm^2}$ a David do ní nalil $V_1 = 6\,\mathrm{\ell}$ vody. Do jaké výšky sahala vodní hladina?

2. David popadl menší z nádob. Měla obsah podstavy $S_2 = 200\,\mathrm{cm^2}$ a hmotnost $m_2 = 1{,}5\,\mathrm{kg}$. Nechal ji plovat ve větší nádobě. O kolik centimetrů se změnila vodní hladina ve větší nádobě?

3. Do jaké hloubky se ponořilo dno menší nádoby?

4. Pak David nalil do menší nádoby $V_2 = 3\,\mathrm{\ell}$ vody. O kolik stoupla hladina ve větší nádobě nyní?

5. Nakonec David změřil výškový rozdíl hladin v nádobách. Kolik mu vyšlo?

David použil nádoby, které mají tenké stěny. Zanedbejte tedy objem materiálu, ze kterého jsou nádoby vyrobeny.

Všichni organizátoři Výfuku věří, že Vánoce budou bílé a už se těší na sáňky a koulování. Velmi by je ale zajímalo, jakou hustotu má čerstvě napadaný sníh. Proto tuto hustotu experimentálně změřte.

Pečlivě popište, jak jste při měření postupovali a jak jste hustotu sněhu spočetli. Také nám napište okolní podmínky, zejména teplotu vzduchu v čase, kdy padal sníh, který jste měřili a typ vloček (malé vločky, hezky tvarované vločky, obrovské vločky apod.). Nezapomeňte popsat i nepřesnost měření.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Spočítejte, kolik kilometrů měří jedna světelná minuta.

2. Ve Výfučtení si můžete přečíst, jaká je hustota neutronové hvězdy. Pro lepší představu velikosti tohoto čísla zkuste spočítat, jakou hmotnost má kostka se stranou dlouhou $a = 1\,\mathrm{cm}$, která je tvořena materiálem neutronové hvězdy. Kolik nákladních vlaků s hmotností $m = 1\,600\,\mathrm{t}$ váží stejně?