Zadání 2. série 15. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Vojta objevil v krabici své staré autíčko na dálkové ovládání a řekl si, že jej trochu fyzikálně otestuje. Na autíčko o hmotnosti $m = 4\,\mathrm{kg}$ jedoucí rychlostí $35\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ působí síly $F_1$, $F_2$ a $F_3$, které vidíte na obrázku. Síly $F_1$ a $F_3$ jsou stejně velké, jejich velikost je $6\,\mathrm{N}$. Síla $F_2$ má velikost $\sqrt{72}\,\mathrm{N}$ a všechny tři síly mají stejné působiště. Úhel $\alpha$, který svírají $F_1$ a $F_3$, je pravý. Úhel $\beta$ mezi silou $F_2$ a $F_3$ je rovný $135\,\mathrm{^\circ}$. Jaká bude rychlost autíčka po čase $t = 20\,\mathrm{s}$?

Výfučka zajímá, kolik schodů má jeho oblíbený eskalátor. Rozhodl se to zjistit spočítáním, kolik schodů kolem něj projelo v opačném směru. Výfuček ale bohužel spěchal, a tak si nemohl dovolit na eskalátoru při počítání stát. Pohyboval se tedy po schodech rychlostí $1{,}5$ schodů za sekundu. Zdolání schodů mu trvalo $t = 32\,\mathrm{s}$ a za tu dobu napočítal $82$ schodů v opačném směru. Jako Výfuček spočítejte, kolik schodů je v každou chvíli viditelných na eskalátoru. Nepočítejte tedy ty, které se pod povrchem vracejí zpátky. Předpokládejte, že viditelných je vždy přesně polovina schodů eskalátoru a zbytek se pod povrchem vrací zpět na začátek. Oba eskalátory se pohybují stejnou rychlostí.

Soňa si koupila nové kytičky. Doma však zjistila, že je nemá kam dát, protože nemá parapet. Rozhodla se je tedy postavit na střechu, která má sklon $\alpha = 30\,\mathrm{^\circ}$. Na 3D tiskárně si proto vytiskla plošinu, kterou na ni umístila, a na plošinu položila své květiny. Celková hmotnost této konstrukce je $500\,\mathrm{g}$. Jaký minimální koeficient tření musí být mezi střešní taškou a plastovou plošinou, aby konstrukce s kytičkami nesjela ze střechy?

Max přemýšlel, jak si co nejefektivněji uložit obnovitelnou energii, kterou získává ze svých solárních panelů. Napadlo ho, že by místo využití klasických baterií mohl uložit svou energii tak, že by pomocí jeřábu zvedal betonové kvádry o rozměrech podstavy $1{,}5\,\mathrm{m} \times 2{,}5\,\mathrm{m}$ a výšce $h = 3{,}5\,\mathrm{m}$ a stavěl z nich věže. Kolik elektrické energie by Max mohl uložit do jedné takové betonové věže (tj. kolik elektrické energie potřebuje na její vybudování), pokud má věž $12$ pater a v každém patře je $6$ kvádrů? Uvažujte, že Max na zvedání kvádrů o hustotě $\rho = 2~400\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ používá jeřáb s elektromotory o účinnosti $\eta = 85\,\mathrm{\%}$.

Lukáš rád pozoruje noční oblohu. Při jednom pozorování se zamyslel nad tím, jak starý je takový meteorit, který dopadne na Zemi. Následující den se šel projít do přírody a nestačil se divit, protože právě jeden našel. Pomozte Lukášovi zjistit, z jaké dálky meteorit přiletěl.

K určení stáří meteoritu Lukášovi pomůže nález několika izotopů prvků ve vzorcích odebraných z jeho dvou různých částí. Klíčové prvky vyskytující se ve vzorcích jsou radioaktivní izotop rubidia $^{87}\ce{Rb}$, který se s poločasem $T_{1/2} = 4{,}97\cdot 10^{10}\,\mathrm{let}$ rozpadá na stabilní izotop stroncia $^{87}\ce{Sr}$. Dále se v celém meteoritu homogenně vyskytuje stabilní izotop stroncia $^{86}\ce{Sr}$, který se nijak nerozpadá a jeho množství je tedy konstantní v čase.

Počet jader $N$ mateřského izotopu (v tomto případě rubidia $^{87}\ce{Rb}$) lze v čase $t$ vyjádřit jako \begin{equation*} N = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}\,, \end{equation*} kde $N_0$ je počet atomů mateřského izotopu v čase $t = 0$ a $\lambda = \ln 2 /T_{1/2}$ je rozpadová konstanta.

1. Vyjádřete počet jader dceřiného izotopu (stroncia $^{87}\ce{Sr}$) $N_{\mathrm{d}}$ v závisloti jen na počátečním počtu jader dceřiného izotopu $N_{\mathrm{d0}}$, aktuálním počtu jader mateřského izotopu $N$, rozpadové konstantě $\lambda$ a čase $t$.

Lukáš analyzoval vzorky odebrané ze dvou částí (A a B) meteoritu a (pomocí hmotnostního spektrometru) naměřil následující poměry koncentrací jednotlivých izotopů. \begin{align*} \frac{\left[\ce{^{87}Rb}\right]_{\mathrm{A}}}{\left[\ce{^{86}Sr}\right]} = 473\cdot 10^{-4} &\quad \frac{\left[\ce{^{87}Sr}\right]_{\mathrm{A}}}{\left[\ce{^{86}Sr}\right]} = 7~014\cdot 10^{-4}\\ \frac{\left[\ce{^{87}Rb}\right]_{\mathrm{B}}}{\left[\ce{^{86}Sr}\right]} = 769\cdot 10^{-4} &\quad \frac{\left[\ce{^{87}Sr}\right]_{\mathrm{B}}}{\left[\ce{^{86}Sr}\right]} = 7~028\cdot 10^{-4} \end{align*}

1. Upravte vztah získaný v první podúloze tak, aby v něm místo aktuálních počtů jader mateřského a dceřiného izotopu vystupovaly poměry jejich koncentrací s konstantní koncentrací stabilního izotopu $\left[\ce{^{86}Sr}\right]$.

Vzniklý vztah by měl mít tvar předpisu lineární funkce, tedy $y = cx + d$, kde proměnné $x$ a $y$ odpovídají výše zadaným poměrům koncentrací.

1. Vypočítejte hodnoty neznámých parametrů $c$ a $d$, jestliže víte, že přímka musí procházet dvěma body $\left[x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}\right]$ a $\left[x_{\mathrm{B}}, y_{\mathrm{B}}\right]$, jejichž souřadnice odpovídají zadaným hodnotám.
2. Z obecného vztahu pro parametr $c$ vyjádřete stáří meteoritu $t$ a vypočítejte jeho číselnou hodnotu pomocí hodnoty $d$ z předchozí podúlohy.

Viktor si chtěl ověřit svou domněnku, že je v jeho pokoji moc tma. Pokuste se o něco podobného.

Změřte v různých vzdálenostech $d$ intenzitu osvětlení $E$ nějakého světelného zdroje ve svém pokoji (například lampičky) a vyneste ji do jednoduchého grafu. Následně spočítejte součin $Ed^2$ pro každé měření a vypočtené hodnoty srovnejte. Jelikož platí tzv. zákon převrácených čtverců, měl by tento součin zůstat konstantní, používáme-li bodový zdroj světla. Odpovídají tomu vaše hodnoty? Pokud ne, dokážete objasnit proč?

Pro účely měření si stáhněte vhodnou aplikaci na chytrý telefon, která intenzitu osvětlení změří pomocí světelného senzoru. Nezapomeňte měřit v temné místnosti a mít během měření senzor kolmo na směr paprsků. Jak přesná je podle vás navržená metoda?

Jak psát experimenty

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Matěj měl po škole hodně času, a tak se rozhodl, že si zajede na výlet na kole. Při jízdě začal přemýšlet, proč mají kola šlapky a na jakém principu vlastně funguje hřídel. Doma našel model hřídele s klikou a začal ho zkoumat. Zkuste to taky, vypočítejte moment setrvačnosti hřídele s klikou vzhledem k ose hřídele. Hřídel s klikou jsou homogenní tělesa a mají hmotnost $M = 15\,\mathrm{kg}$ a tloušťku $d = 5\,\mathrm{cm}$. Hřídel má délku $l = 1\,\mathrm{m}$, svislá část šlapky má délku $d$ a její vodorovná část délku $3d$. Soustava je tedy celkem dlouhá vodorovně $l+2d$ a svisle $3d$ (vizte obrázek \ref{R15S2U7_zadani}).

   

2. Matěj působil na střed šlapky tečnou silou $F = 200\,\mathrm{N}$ kolmou ke směru otáčení. Jakou práci vykoná po $t = 3\,\mathrm{s}$ otáčení?

   Moment setrvačnosti plného válce vzhledem k jeho ose symetrie je $mr^2/2$, kde $r$ je poloměr válce. Moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé na tyč procházející jejím koncem je $mL^2/3$, kde $L$ je délka tyče.

   Nápověda: Ve Výfučtení si pozorně všimněte znění Steinerovy věty. Ke které ose tělesa se vždy vztahuje původní moment setrvačnosti, od něhož se pak určují momenty setrvačnosti vzhledem k rovnoběžným osám?

3. Spočítejte kinetickou energii jedoucího Matěje včetně jeho kola. Matěj jede konstantní rychlostí $v = 20\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$, kola jeho bicyklu mají tvar tenké kruhové obruče o poloměru $r =584\,\mathrm{mm}$ a hmotnost každého z nich je $m = 1~800\,\mathrm{g}$. Celé kolo i s Matějem váží $M = 76\,\mathrm{kg}$. Pohyb cyklisty při šlapání a odpor vzduchu zanedbejte. Kola neprokluzují. Kolik procent celkové energie tvoří rotační energie?

Text Výfučtení 2. série Archiv Výfučtení