Zadání 2. série 4. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Honza si chtěl udělat radost, a tak se vydal do svého oblíbeného komiksového obchodu. Prohlížeje si své oblíbené hrdiny, všiml si tří zbrusu nových komiksů, které ležely na stolku jeden vedle druhého. Honza v rychlosti nevěděl, který z nich má popadnout a prolistovat jako první. Při zběžném pohledu zjistil:

• Komiks původem z Japonska se nenachází vedle komiksu GigaMan.

• Jeden z komiksů stojí $1\,332\,\mathrm{\text{Kč}}$.

• Komiks, který stojí $199\,\mathrm{\text{Kč}}$, není původem ze Slovenska.

• Slovenský komiks se nachází vlevo.

• Komiks Výfučkova hrdinství není původem z Japonska.

• Komiks původem z Česka stojí pouhých $99\,\mathrm{\text{Kč}}$.

Kolik stojí komiks se jménem Příběh matfyzáka?

Petr se často neumí rychle rozhodnout. Obzvláště tehdy, když jde o rychlé počítání. Proto mu pomozte a doplňte místo otazníků jeden ze znaků $>$, $<$ nebo $=$. Své rozhodnutí řádně odůvodněte.

\begin{align*} &{\rm a)} & \frac{1}{3} - \frac{1}{8} + \frac{1}{6} ~&?~ \frac{\dfrac{3}{8}}{1 + \dfrac{1}{8}}\,, & &{\rm b)} & 1 + \frac{x+2}{x+1} ~&?~ \frac{2x + 3}{x + 2}:\frac{x+1}{x+2}\,. \end{align*}

Představme si dvě čtvercová zrcadla, která jednou stranou spojíme do „véčka“ tak, že spolu svírají úhel $\alpha$. Pokud se do zrcadel zadíváme, nestačíme se divit, naše hlava se zobrazila do více míst najednou. Aby nás podobná situace příště nezaskočila, zjistěte, kolik obrazů hlavy vidíme při pohledu do zrcadel, pokud je úhel $\alpha$ rovný $90^\circ$, $45\,\mathrm{^\circ}$ a $9^\circ$.

Radka s Andřejkou jsou mimořádně vynalézavé. Posledně předváděly Lukášovi a Terce svůj nový vynález, který slavnostně nazvaly hustoměr. Přístroj se skládá z tyčky zanedbatelné hmotnosti a délky $l = 20\,\mathrm{cm}$ a ze závaží s hmotností $m = 400\,\mathrm{g}$, které je upevněno na pravém konci tyčky. Na levém konci je pak připevněno těleso, jehož hustotu chceme změřit.

Samotné měření probíhá tak, že nejdříve Radka naměří vzdálenost $a = 12\,\mathrm{cm}$ od závaží o známé hmotnosti do místa, kam je třeba tyčku podepřít, aby byla v rovnováze. Pak přístroj předá Andřejce, a ta ponoří měřené těleso do vody s hustotou $\rho_0 = 1\,000\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$. Hustoměr se tak vychýlí z rovnováhy, ale Andřejka rychle nalezne novou vzdálenost $b = 6\,\mathrm{cm}$, kdy rovnováha opět nastane.

Lukáš vzal tužku a papír a za chvilku dívkám oznámil, jakou hustotu $\rho$ měl neznámý předmět. Jaká hustota mu vyšla?

Tři organizátoři Výfuku Petr, Petr a Petr zkoušeli revoluční způsob odpalování míčků. Vzali si dva pružné míčky s hmotnostmi $m$ a $M$. Lehčí míček opatrně umístili těsně nad těžší ve výšce $h$ nad zemí ¹ a míčky nechali padat volným pádem. Po srážce obou míčků u země se ale stalo něco nevídaného. Těžší míček zůstal ležet na zemi, zatímco lehčí míček byl katapultován do veliké výšky.

1. Pomocí zákona zachování energie vyjádřete vztah pro rychlost míčků těsně před dopadem na zem.

2. Odraz u země probíhá tak, že nejdříve se těžší spodní míček pružně odrazí od země (velikost jeho rychlosti se nezmění), a pak se pružně srazí s lehčím míčkem, který stále letí dolů. I během této srážky budou platit dva zákony zachování – hybnosti a energie. Matematicky je oba zapište, předpokládáte-li, že po srážce zůstává těžší míček stát a lehčí míček odlétá rychlostí $u$.

3. Předešlé dva zákony jsou současně splněny pouze pro nějaký speciální poměr hmotností $M/m$. Úpravou zapsaných rovnic nalezněte tento poměr.

4. Do jaké výšky vyletí lehčí míček? Výsledek vyjádřete jako násobek původní výšky $h$.

Každému se to určitě někdy stalo: vstanete, nasnídáte se, vyrazíte do školy, ale cestou na zastávku si vzpomenete, že jste si zapoměli vaši oblíbenou propisku. Vyšlapat tři patra zpátky do bytu se vám nechce, a tak se domluvíte s mámou, aby vám propisku shodila dolů. Riskovat ale, že po pádu se propisce něco stane není úplně příjemné a vy to chcete změnit. Proto si pomocí lehkých materiálů postavte padák, který klesá k zemi co nejpomaleji. Na padák pověste propisku nebo tužku a změřte tuto rychlost. ¹ Napište nám, proč si myslíte, že váš padák je nejefektivnější. Nezapomeňte připojit fotku z výroby padáku nebo z měření.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Účastníci na letním táboře Výfuku měli za úlohu změřit tíhové zrychlení pomocí kyvadla. Změřili délku kyvadla $l$ a jeho periodu $T$, tíhové zrychlení pak zjistili pomocí vztahu \begin{equation*} g = \frac{4 \pi^2 l}{T^2}\,. \end{equation*}

   1. Odhadněte, jakou chybou je zatíženo měření délky, pokud k měření použijeme obyčejný stavařský metr. Pak vypočítejte relativní nepřesnost tohoto měření, pokud je naměřená délka závěsu $l = 70\,\mathrm{cm}$. Výsledek vyjádřete v procentech.

   2. Odhadněte také nepřesnost měření času. Nezapomeňte, že kromě nepřesnosti stopek má na měření vliv i reakční doba experimentátora (odhadněte její velikost).

   3. Na výsledky měření mají dopad i vnější vlivy. Napište alespoň dvě síly, které na kyvadlo působí a mohou naše měření ovlivnit.

2. Při rozvodu elektrické energie do domácností dochází ke ztrátám energie ve vedení. Způsobuje to nenulový odpor přívodních vodičů. Stejně je tomu i v ČEZu, jehož technici tento odpor vedení měří tak, že si vezmou kabel s délkou $l = 1\,\mathrm{m}$ a několikrát proměří jeho odpor, viz tabulka 1. Dále ví, že proud, který tímto kabelem ve skutečnosti teče, je $I = \left(2{,}5 \pm 0{,}3\right) \mathrm{A}$.

   1. Určete průměrnou hodnotu odporu kabelu a jeho směrodatnou odchylku pomocí vzorečků ve Výfučtení.

   2. Známe-li tento odpor, můžeme spočítat ztrátový výkon, tzn. energii, která se v kabelu promění na teplo za jednu sekundu, a to pomocí vzorce \begin{equation*} P = R I^2\,. \end{equation*} Vypočítejte tento výkon a pomocí pravidel o skládání chyb určete nepřesnost tohoto výpočtu.

   3. Výsledek správně zaokrouhlete a zapište ve tvaru \begin{equation*} P = \left( \text{průměrná hodnota} \pm \text{nepřesnost} \right)\mathrm{W}\,. \end{equation*}