Zadání 3. série 6. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Autobus jezdí z konečné každých deset minut a cesta mezi zastávkami zabere autobusu jednu minutu. V chladných měsících Káťa nechce stát na zastávce déle než dvě minuty. Aby jí nebyla zima, raději se zahřeje pohybem a na další zastávku jde pěšky, přičemž cesta mezi dvěma zastávkami jí trvá pět minut.

Nyní je Káťa na konečné zastávce a další autobus jí jede za sedm minut. Na které zastávce nastoupí Káťa do autobusu?

Číslo $\pi$ je jedním z nejznámějších čísel matematiky. Udává poměr obvodu kruhu ku jeho průměru. Martin si našel, že v antice se na jeho přibližný výpočet používal poměr obvodu pravidelného $n$-úhelníku vepsaného do kružnice ku průměru kružnice. Nejprve vypočítejte tento poměr pro čtyřúhelník a šestiúhelník, pak například pomocí Excelu nebo jiného kalkulátoru najděte takový $n$-úhelník s nejmenším $n$, že jeho poměr je alespoň $3{,}14$, což je hodnota již velmi blízká $\pi$.

Blížící se Vánoce doprovázejí i občasné sněhové přeháňky, po nichž sníh dlouho nevydrží, neboť okamžitě taje. Pavla si po jedné takovéto přeháňce všimla, že na autech zaparkovaných u chodníku se sníh chvíli udržel, i když naměřila teplotu vzduchu $+0{,}5\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Vysvětlete, proč sníh na autech neroztál stejně rychle, jako tomu bylo na chodníku.

Historici nedávno objevili na dně rybníka starodávný sloup ve tvaru válce s poloměrem podstavy $r = 0{,}5\,\mathrm{m}$ a výškou $h = 2\,\mathrm{m}$. K jejich překvapení sloup nebyl povalen, ale bezpečně stál svou podstavou na dně rybníka. Aby ho vytáhli na břeh, přivolaní potápěči připevnili na sloup lano a pomocí jeřábu ho zvedli nad hladinu (viz obrázek 1).

Viktor celou situaci sledoval ze břehu rybníka a vypočítal práci, kterou jeřáb při zvedání sloupu z rybníka vykonal. Spočítejte ji také. Víte, že sloup je homogenní a má hmotnost $m = 4\,000\,\mathrm{kg}$. Rybník má hloubku $H = 7\,\mathrm{m}$ a v porovnání s rozměry sloupu je řádově větší.

Tom našel během předvánočního úklidu ve sklepě pružinu a závaží o hmotnosti $m = 100\,\mathrm{g}$.

1. Pružina se po zavěšení závaží prodloužila o $\Delta l = 10\,\mathrm{cm}$. Určete tuhost pružiny $k_1$.

2. Dále vzal Tom nůžky a přestřihl pružinu na dvě poloviny. Jaká bude tuhost $k_2$ nově vzniklých pružin?

3. Jak těžké závaží by Tom musel na novou pružinu zavěsit, aby se prodloužila také o $\Delta l = 10\,\mathrm{cm}$?

4. O kolik centimetrů se prodlouží nové pružiny, zavěsí-li na ně Tom $100\,\mathrm{g}$ závaží tak, jak je znázorněno na obrázku 1?

Častým problémem astronomů je tzv. světelné znečištění. Ve velkých městech vlivem umělého osvětlení ztrácíme možnost pozorovat méně jasné hvězdy, neboť je obloha svojí jasností „přesvítí“. Zkuste tedy určit jasnost oblohy v okolí svého bydliště. Nezapomeňte do řešení uvést místo a datum pozorování.

1. Během jasné noci si alespoň dvě hodiny po západu Slunce na obloze najděte souhvězdí Býka.

2. Podle přiložené mapky si v Býkovi najděte určený trojúhelník.

3. Spočítejte, kolik hvězd v tomto trojúhelníku vidíte pouhým okem ¹ a podle tabulky zjistěte, jak moc znečištěná je obloha ve vaší lokalitě.

Astronomové pro měření jasnosti hvězd používají jednotku zvanou magnituda, jejíž zavedení není úplně jednoduché. Pro naše měření nám postačí vědět, že čím vyšší magnituda, tím méně jasná je hvězda.

Tipy pro pozorování. Pozorování je potřeba provádět za jasné noci, kdy nejsou na obloze žádné mraky, jinak dojde ke znehodnocení měření. Zároveň je potřeba měřit v noci tak, aby byl Měsíc dostatečně daleko od pozorované oblasti. Dále je měření potřeba provádět dále od lamp, billboardů a jiných silných zdrojů světla. A nezapomeňme, že oku trvá zhruba půl hodiny, než si dokonale zvykne na tmu a dokáže rozpoznat ty nejslabší hvězdy a objekty.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Při ředění kyseliny chlorovodíkové ($\ce{HCl}$) ve vodě ($\ce{H2O}$) dochází k zajímavému ději. Voda dokáže roztrhnout poměrně silnou vazbu mezi vodíkem a chlórem, ale za cenu toho, že vodík přijde o svůj elektron – vznikne tedy kationt $\ce{H+}$ a aniont $\ce{Cl-}$. Vodíkový kationt se pak ale rychle naváže k molekule vody za vzniku kationtu $\ce{H3O+}$. Tento „přenos“ vodíku je energeticky výhodný, neboť se při této reakci uvolní $75\,\mathrm{kJ}$ energie ve formě tepla na jeden mol $\ce{HCl}$.

O kolik se změní teplota v kádince s $200\,\mathrm{ml}$ vody, když v ní rozředíme $1\,\mathrm{mol}$ koncentrované $\ce{HCl}$?