Zadání 1. série 4. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Lada si do nově zařízené kuchyně koupila 3 nádoby s objemy $3\,\mathrm{\ell}$, $7\,\mathrm{\ell}$ a $9\,\mathrm{\ell}$. Nádoby nemají stupnici. Lada je tedy umí naplnit pouze až po okraj, úplně vylít anebo přelít vodu z jedné nádoby do druhé. Pomozte Ladě a nalezněte způsob, jak si může pomocí těchto nádob odměřit objem $5\,\mathrm{\ell}$.

Jakub dostal žízeň, a tak se vydal pro litr džusu a litr Kofoly. Obchod, do kterého vešel, byl ale poněkud divný. Místo cenovek našel Jakub jen nápis: „Za $4\,\mathrm{litry}$ Kofoly a $1\,\mathrm{litr}$ džusu zaplatíš stejně jako za $1\,\mathrm{litr}$ Kofoly a $3\,\mathrm{litry}$ džusu. Koupíš-li si ale $4\,\mathrm{litry}$ Kofoly, zaplatíš o $24\,\mathrm{\text{Kč}}$ více, než za $2\,\mathrm{litry}$ džusu.“ Jakub samozřejmě hádanku vyřešil a koupil si oba nápoje. Kolik zaplatil u pokladny?

Radka jela na výlet parníkem z Prahy do Ústí nad Labem a zpátky. Cesta tam Radce trvala $4\,\mathrm{hodiny}$, ale cesta zpět $10\,\mathrm{hodin}$. Radce ihned došlo, že tento rozdíl způsobuje řeka, která teče průměrnou rychlostí $2\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Spočítejte, jak rychle se vůči vodě pohyboval parník, pokud jeho motory pracovaly celý výlet stejně.

Každá ze čtyř chladicích věží v jaderné elektrárně Temelín vyprodukuje $3\,000\,\mathrm{kg}$ vodní páry za sekundu, která je díky komínovému efektu vyfukována vysoko do atmosféry. Víme, že průměr vrchní části chladicích věží je $80\,\mathrm{m}$. Spočtěte:

1. jaký objem vodní páry vyprodukuje jedna věž za sekundu,

2. jakou rychlostí je tato vodní pára vyfukována.

Hodí se vám znalost molární hmotnosti vody, která je $18\,\mathrm{g\!\cdot\! mol^{-1}}$ a dále objem $1\,\mathrm{molu}$ vodní páry za běžných podmínek, který činí $22{,}4\,\mathrm{\ell}$.

Paťo objevil na Matfyzu skříň plnou rezistorů s odpory $1\,\mathrm{\Omega}$. Z dlouhé chvíle je začal zapojovat do žebříkového zapojení, viz obrázek. Jedna „buňka“ schématu se skládala ze dvou rezistorů a po každém připojení další buňky Paťo popadl multimetr a změřil odpor svého zapojení mezi body $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$.

1. Spočtěte odpor 1, 2, 3 a 4-buňkového žebříku.

2. Možná jste sami zjistili, že odpor čtyř buněk spočítáme snadno z odporu tří buněk. Nalezněte vztah pro odpor $n+1$ buňkového zapojení (ozn. $R_{n+1}$), pokud znáte odpor $n$ buněk $R_n$.

3. Přepište tento vzorec do vhodného tabulkového editoru (např. Excel) a vzorec „roztáhněte“ přes alespoň 50 buněk. Měli byste tak zjistit, k jakému číslu se bude blížit odpor Paťova zapojení pro velký počet buněk. Napište nám tuto hodnotu s přesností na 6 desetinných míst.

Voda je záhadná kapalina a záhadně i vytéká z nádob. Proto proveďte následující pokus: do dna dvoulitrové PET láhve udělejte malou dírku. Pak změřte čas, za který voda vyteče ven z láhve pro alespoň osm různých počátečních výšek hladin. Naměřené výsledky nakonec zakreslete do grafu závislosti času výtoku na výšce hladiny ¹ a odhadněte, jaká funkce odpovídá naměřeným hodnotám.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Šimon si pořídil novou Škodovku a hned s ní vyjel na krátkou testovací jízdu. Výsledkem testu byl graf zobrazující zrychlení nového auta, viz obrázek.

1. Spočtěte rychlost auta v časech $t_1 = 2\,\mathrm{s}$, $t_2 = 4\,\mathrm{s}$ a $t_3 = 8\,\mathrm{s}$ a výsledky zakreslete do grafu závislosti rychlosti na čase. Graf poté doplňte tak, abyste viděli celý časový průběh rychlosti auta. Prozradíme vám, že rychlost auta v čase $t_0 = 0\,\mathrm{s}$ byla $v_0 = 0\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$.

2. Jakou dráhu ujelo auto za první $2\,\mathrm{sekundy}$?

3. A jakou dráhu ujelo mezi časem $t_1 $ a $t_2$?

4. Jaká byla průměrná rychlost auta během testu?