Zadání 6. série 2. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Franta z Rána se začetl do knihy, jejíž žánr byl na pomezí sci-fi a mystery literatury. Zrovna přišel ke kapitole, kde neznámý hlavní hrdina hledá čtyři kořeny –  kořen rebarbory, zázvoru, ibišku a také lotosový kořen.

Kouzelná kniha, která je popsána ve Frantově knize, neznámému hrdinovi radila, že tyto kořeny se skrývají pod řešením (kořeny) následující rovnice \begin{equation*} 256 s^4 -4097 s^2 + 16 = 0 \,. \end{equation*} Nalezněte všechny čtyři kořeny.

Vypočtěte odpor schématu na obrázku skládajícího se z nekonečné řady paralelně zapojených 2, 4, 8, 16, … odporů velikosti $R$ zapojených sériově. Inspiraci můžete nalézt v seriálu 2. série prvního ročníku Výfuku.

Radka našla doma velmi lehkou páku s rameny dlouhými $l = 20\,\mathrm{cm}$ a dvě dřevěné kuličky se stejnou hustotou $\rho = 600\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$, ale s různými hmotnostmi: $m_1 = 10\,\mathrm{g}$ a $m_2 = 15\,\mathrm{g}$. Těžší kuličku nechala plovat na hladině vody¹ v kádince a připevnila ji na jeden konec páky. Páku se jí podařilo vyvážit, když lehčí kuličku uvázala do středu protilehlého ramene. Jaký objem těžší kuličky byl ponořen ve vodě? Výsledek udejte v $\mathrm{m^3}$.

Tomáš si v hypermarketu koupil elektronové dělo. To střílí elektrony pod stálým úhlem $\alpha = 45^\circ$, Tomáš může měnit jenom rychlost elektronů $v$. Navíc si vypočetl, že umístí-li dělo do počátku souřadné soustavy, poloha vystřelených elektronů v čase bude popsána dvěma rovnicemi \begin{align*} x(t) &= vt \cos{\alpha}\,,\\ y(t) &= vt \sin{\alpha} - \frac{1}{2} g t^2\,. \end{align*} Tomáš se vás ptá: „Jakou nejmenší rychlost elektronů $v_0$ má nastavit, aby ještě přeletěly přes stěnu vysokou $h = 0{,}5\,\mathrm{m}$ a vzdálenou $D = 2\,\mathrm{m}$?“

Zjistil již, že rychlost $v_1 = 5\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ na překonání stěny nestačí. Elektrony vystřelené touto rychlostí se od ní pružně odrazily. To znamená, že v okamžiku srážky se jim změnila rychlost ve směru $x$ na opačnou. ¹ Do jaké vzdálenosti od děla nakonec dopadly?

Tomáš vám ještě prozradí, že pro případ, že by elektrony přes stěnu volně projely jakoby tam ani nebyla, dopadly by do vzdálenosti \begin{equation*} X = \frac{v_0^2 \sin \left(2 \alpha\right) }{g}\,. \end{equation*}

Zadání je jednoduché – zjistěte, jakou průměrnou hmotnost unese postupně 1 vlas, 2 vlasy, atd. až 5 vlasů dohromady. Pak vyneste výsledky vašeho měření do grafu závislosti průměrné unesené hmotnosti na počtu vlasů. Důkladně okomentujte a vysvětlete závislost, kterou jste dostali.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Jaký objem vody musíme pozorovat, abychom zaznamenali jeden rozpad protonu za týden? V jedné molekule vody jsou dva volné protony, které by se mohly rozpadat. Předpokládejte střední dobu života protonu $\tau = 10^{31}\,\mathrm{let}$.

2. Máme vzorek částic obsahující $n_0$ jader, která se mohou rozpadat. Dále známe jejich rozpadovou konstantu $\lambda$ a poločas rozpadu $T_{1/2}$. Kolikrát klesne aktivita vzorku za čas $t_1 = T_{1/2}$? Kolikrát klesne aktivita v časech $t_n = n T_{1/2}$, kde $n$ je přirozené číslo?

3. Polonium $^{212} \mathrm{Po}$ má poločas rozpadu $0{,}3\,\mathrm{\upmu s}$. Určete jeho střední dobu života a rozpadovou konstantu. Kolik jader se rozpadne za $1\,\mathrm{min}$ z $1\,\mathrm{kg}$ vzorku polonia?