Zadání 1. série 8. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Výfuček se večer před svými 8. narozeninami tak nemohl dočkat všech dárků, že se mu nedařilo usnout. Místo oveček si představil 1 024 zlomků ve tvaru $1/1\,024$, $2/1\,024$, …, $1\,024/1\,024$ a počítal, kolik těchto zlomků bude mít v základním tvaru (po zkrácení) ve jmenovateli právě číslo 8. Pomoz Výfučkovi, aby se na svůj narozeninový den dobře vyspal a spočítej, kolik takových zlomků existuje!

Klárka trávila polovinu naší zimy ve slunné letní Brazílii. Bohužel, v průběhu té doby došlo kvůli nedostatku dodávky elektřiny do Kosova k poklesu průměrné frekvence střídavého proudu (po celou tu dobu) v celé Evropě z $50\,\mathrm{Hz}$ na $49{,}996\,\mathrm{Hz}$. Zpoždění sítě se pak pro Klárku projevilo náhle po příletu do Česka – večer si doma, jak byla Klárka vždy zvyklá, nastavila budík na termostatu, který určuje čas pomocí této frekvence. Budík ji měl vzbudit správně v 8 ráno, ale zazvonil o 6 minut později. Určete, před jak dlouhou dobou potíže s frekvencí střídavého proudu začaly.

Kačka čekala na nádraží a chtěla zjistit, jakou rychlostí kolem ní projíždějí vlaky. Pomocí počítání vagónů zjistila, že nákladní vlak kolem ní projel rychlostí $30$ vagónů za minutu, zatímco rychlík projel rychlostí $0{,}8$ vagónu za sekundu. Doma potom zjistila, že délka osobního vozu je $26\,\mathrm{m}$, zatímco délka nákladního vozu je $14\,\mathrm{m}$. Jakou rychlostí v kilometrech za hodinu projížděly vlaky stanicí?

Kačka si napustila do hrnce $5\,\mathrm{l}$ vody o teplotě $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a chtěla ji uvařit na sporáku. K dispozici měla hořáky o výkonech $1\,\mathrm{kW}$, $1{,}8\,\mathrm{kW}$ a $2{,}7\,\mathrm{kW}$. Porovnejte pro jednotlivé hořáky, jak dlouho bude trvat, než se na nich voda úplně vypaří, když na ni Kačka zapomene.

Dan musí po svém nepořádném bratrovi neustále zavírat vrata do domu, která nechává otevřená na celých $180^\circ$. Vrata mají hmotnost $m$ a šířku $r$. Otáčejí se kolem svislé osy procházející panty s malým poloměrem $r_{\mathrm{p}}$, na kterých se třou s koeficientem $f$ (vrata se nedotýkají země).

1. Protože Dana už zavírání unavuje, chce je zavřít s vynaložením co nejmenší práce. Jaká je tato práce, působí-li na vrata celou dobu na místě v nejdelší možné vzdálenosti od pantů?

2. Jindy to zase Dan chce mít rychle za sebou. Kinetická energie otáčejících se vrat je $m \omega^2 r^2 /6$, kde $\omega$ je úhlová rychlost. Na jakou úhlovou rychlost $\omega$ musí na začátku dveře urychlit, aby se samy zavřely, ale přitom nepráskly, tj. zastavily se přesně po $180^\circ$?

3. Vzácně je ale Dan i naštvaný. Jednou s vraty švihl tak silně, že při nárazu ztratily jen $50\,\mathrm{\%}$ energie, kterou v tom okamžiku měly, se zbytkem se odrazily a bez dalšího kontaktu o stěnu se opět samy otevřely na původních $180^\circ$. Jaká musela být počáteční úhlová rychlost v tomto případě?

Je známo, že Sherlock Holmes věřil v nedoceněnou informační hodnotu chůze člověka. Ze stop zanechaných ve sněhu či bahně dokázal vydedukovat způsob chůze, postavu či výšku člověka. V úloze prozkoumáme možnosti těchto metod připodobněním nohou k jednoduchému fyzikálnímu modelu kyvadla.

1. Naměřte závislost frekvence kroků na délce nohy člověka, který kráčí sobě nejpřirozenějším způsobem.¹ Délku měřte vždy např. od kyčle až na zem, měření proveďte pro alespoň 4 různé délky nohy² a vyneste do grafu.

2. Najděte si, jaký vztah platí mezi frekvencí kyvů³ a délkou tzv. matematického kyvadla. Ukažte, zda a jak tato závislost odpovídá naměřeným hodnotám.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Ačkoliv se historka o jablku spadnuvším na Newtonovu hlavu pravděpodobně odehrála jinak, nebo se vůbec neodehrála, poskytuje nám tak i tak dobré fyzikální cvičení. Představme si tedy, že Newton sedí pod stromem a spadlo na něj jablko. Odhadněte:

1. Jak velkou gravitační silou působí jablko na Newtona a Newton na jablko v okamžiku, kdy se jablko Newtona dotýká? Odhadněte všechny potřebné veličiny.

2. Jak velkou gravitační silou působí Země na jablko a jablko na Zemi? Jakým zrychlením se pohybuje Země k jablku a jakým jablko k Zemi?

3. Pokud je jedno jablko v koruně stromu a jedno leží na zemi pod ním, kde leží jejich společné těžiště? Jak velké a kam směřující je zrychlení tohoto těžiště, začne-li horní jablko padat s tíhovým zrychlením $g$ k dolnímu?