Zadání 6. série 5. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Kačka dostala k narozeninám přesně $8\,192$ bonbonů. Poněvadž takové množství bonbonů by sama nesnědla, rozhodla se každý den (dnem svých narozenin počínaje) rozdat polovinu bonbonů, které měla v daný den k dispozici. Ke Kaččině překvapení jí ale bonbony začaly rychle ubývat, až jednoho rána zjistila, že jí zůstal poslední bonbon, který snědla sama. Kolik dnů od Kaččiných narozenin do toho dne uběhlo?

Tom má rád Kofolu pouze tehdy, když ji má ve sklenici přesně $\pi\,\mathrm{dl}$, proto ji pije jen ze své speciální sklenice. Ta má tvar komolého (seříznutého) kužele, viz obrázek. Jakou výšku má Tomova sklenice, víte-li, že její objem je přesně $\pi\,\mathrm{dl}$?

Petr si posledně lámal hlavu nad problémem zapojení tří stejných žárovek. Nevěděl, jak má žárovky připojit ke zdroji konstantního elektrického napětí o velikosti $220\,\mathrm{V}$ tak, aby žárovky svítily s co nejvyšším výkonem .¹

Navrhněte Petrovi takové zapojení a napište, proč si myslíte, že právě toto zapojení má maximální výkon. Petr vám ještě prozradí, že pokud je jedna takováto žárovka připojena k témuž zdroji přímo, má výkon $40\,\mathrm{W}$.

Orgové Výfuku zjistili, že nejlepší koupel připravíte tak, že do vany napustíte $40\,\mathrm{l}$ vody o teplotě $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Pak přilijete $7\,\mathrm{l}$ horké vody o teplotě $60\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a $3\,\mathrm{l}$ ledové vody o teplotě $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Koupel dobře promícháte a z vany vypustíte $10\,\mathrm{l}$ vody. Poté opět dolijete $7\,\mathrm{l}$ horké a $3\,\mathrm{l}$ ledové vody, promícháte, $10\,\mathrm{l}$ vody vypustíte a postup mnohokrát opakujete. Po dostatečném počtu opakování bude mít koupel ideální teplotu. Zjistěte, jaká je tato teplota.

Radka se jednou dostala do televize, kde si mohla zatočit kolem štěstí. Kolo v rozhodujícím momentu roztočila úhlovou rychlostí $\omega_0$. Radku by samozřejmě zajímalo, na jaké pozici se kolo zastaví a jakou cenu vyhraje.

Kolo je brzděné speciálním mechanizmem, poskytující zpomalení (změna úhlové rychlosti za krátký časový úsek $\Delta t$) v jednotkách $\mathrm{rad\!\cdot\! s^{-2}}$ \begin{equation*} \varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = 0{,}3 + \frac{\omega}{10}\,.\tag{1}\label{R05S06U05R01} \end{equation*} Takovýto pohyb již není jednoduše vyjádřitelný pomocí vzorců, a proto si ho naprogramujte v tabulkovém kalkulátoru (MS Excel nebo OpenOffice Calc).

• Otevřete si váš oblíbený kalkulátor a založte si první sloupec, do kterého budete vynášet čas $t$ v sekundách s krokem $\Delta t = 0{,}1\,\mathrm{s}$.

• Do prvního řádku, vedle času $t_0 = 0\,\mathrm{s}$, zapište počáteční veličiny: počáteční úhel $\varphi_0 = 0\,\mathrm{rad}$ a počáteční úhlovou rychlost $\omega_0 = 8\,\mathrm{rad\!\cdot\! s^{-1}}$.

• Do čtvrtého sloupce vypočítejte velikost zpomalení $\varepsilon_0$.

• Další hodnoty úhlu $\varphi_n$ a úhlové rychlosti $\omega_n$ počítejte postupně pomocí vztahů \begin{equation*} \varphi_n = \varphi_{n-1} + \omega_{n-1} \Delta t\,, \omega_n = \omega_{n-1} - \varepsilon_{n-1} \Delta t \end{equation*} a zpomalení $\varepsilon_n$ určete pomocí vztahu (1) dosazením úhlové rychlosti $\omega_n$.

Ve vypočítaných datech pak nalezněte čas, kdy je úhlová rychlost nulová, tzn.  kolo se zastavilo. Pak určete, na jakém úhlu se kolo štěstí zastavilo .¹ Do řešení zkuste vložit i kus své tabulky s daty.

Dva orgové Výfuku dostali za úkol přezkoumat, na jakých veličinách a jak závisí perioda kmitů kyvadla $T$, které vychylujeme s počáteční výchylkou $5^\circ$.

1. Jarda zkoumal dobu kmitů kyvadla s délkou závěsu $1\,\mathrm{m}$. Zjistil, že perioda kmitů $T$ je přímo úměrná druhé mocnině hmotnosti závaží na konci kyvadla.

2. David zjišťoval, jak závisí perioda $T$ na délce závěsu kyvadla a dospěl k závěru, že perioda $T$ je přímo úměrná délce závěsu.

Jak již jistě tušíte, vaší úlohou bude experimentálně prověřit jednotlivá tvrzení. Je-li tvrzení špatně, proveďte všechna potřebná měření k nalezení správného tvrzení.

Tip: Nejpřesněji se perioda kyvadla měří tak, že změříte čas, za který kyvadlo urazí deset period a změřený čas pak vydělíte deseti.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Jindru číslo $\pi$ velice zaujalo, proto si ho přál znát nazpaměť. Bohužel ale $\pi$ má nekonečný desetinný rozvoj, a tak se Jindra musel spokojit s pamatováním si pouze prvních deseti číslic za desetinnou čárkou. Jindrovi spolužáci však tak pilní nejsou. Ondra si zapamatoval $\pi$ na pět míst, Lukáš na tři, Káťa na dvě a Jarda jen na jedno. Zanedlouho měli v testu za úkol spočítat obvod Země. Jak moc se odpovědi jednotlivých žáků lišily? Kolik to je v procentech, vezmeme-li v úvahu Jindrovu odpověď za „správnou“? Na kolik desetinných míst je podle vás výhodné si číslo $\pi$ pamatovat? Poloměr Země a $\pi$ na dostatečný počet desetinných míst si vyhledejte například na internetu nebo v tabulkách a předpokládejte, že Země je ideální koule.

2. Najděte a odůvodněte převodní vztah z radiánů na stupně (kolik stupňů je $1\,\mathrm{rad}$) a naopak (kolik radiánů je $1^\circ$).

3. Domorodci z daleké země Umbuqa používají jako jednotku úhlu banány (ozn. $\mathrm{b}$). Jejich vědci zjistili, že plný kruh odpovídá $4{,}5\,\mathrm{b}$. Kolik radiánů odpovídá úhlu o velkosti $1\,\mathrm{b}$?