Zadání 4. série 5. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Andřejka při kreslení Výfučka přemýšlela, z jakých barev se skládá její černý fix. Spolu se zadáním Vám posíláme pět vzorků ¹ Andřejčiny fixy na savém papíře. Pomůžete jí zodpovědět její otázku? Do řešení nezapomeňte uvést i postup, jak jste jednotlivé barvy zjistili.

Pavla měla doma $10\,\mathrm{kg}$ jablek, a protože má velice ráda křížaly (sušená jablka), usmyslela si, že všechna jablka usuší. Rozkrájela je tedy na tenké plátky a nechala je pořádně proschnout. Když jablka vyschla, Pavla zjistila, že má pouze $4\,\mathrm{kg}$ křížal. Bylo jí hned jasné, že je to způsobeno odpařením vody z jablek. Jelikož je velmi zvídavá, rozhodla se spočítat, kolik váží voda, která v křížalách zbyla. Pomůžete to Pavle spočítat, jestliže víte, že před sušením voda v jablkách tvořila $80\,\mathrm{\%}$ jejich hmotnosti?

Kuba se přihlásil do silácké soutěže. Jednou z disciplín byl běh na pružném laně s jednoduchými pravidly: přivázat si lano, jehož jeden konec byl pevně uchycen v držáku, kolem pasu a doběhnout co nejdál od držáku. Jak daleko Kuba doběhl, pokud dokáže při běhu vyvinout maximální sílu $1\,\mathrm{kN}$? Klidová délka lana je $25\,\mathrm{m}$ a má tuhost $220\,\mathrm{N\!\cdot\! m^{-1}}$. Délku lana potřebnou k přivázání zanedbejte.

Družice na zemské oběžné dráze změřily, že výkon slunečního záření, které dopadá na plochu jeden metr čtvereční (tzv. solární konstanta), je v okolí Země $k = 1\,361\,\mathrm{W/m^2}$. Dále se družicím povedlo změřit vzdálenost Země od Slunce, která činí $s = 149{,}6\cdot 10^{6}\,\mathrm{km}$.

1. Spočítejte, jaký je výkon celého Slunce, předpokládáte-li, že Slunce vyzařuje energii rovnoměrně do celého prostoru a energie se při šíření vesmírem nikde neztrácí.

2. Astronomům se z mnoha měření povedlo zjistit, že průměr Slunce je $d = 1\,390\,000\,\mathrm{km}$. Navíc se jim ale povedlo zjistit, že intenzita záření a povrchová teplota hvězd spolu souvisí prostřednictvím vztahu \begin{equation*} I= \sigma T^4\,, \end{equation*} kde $I$ je intenzita záření ¹ hvězdy na jejím povrchu, $T$ je termodynamická teplota (v kelvinech) na povrchu hvězdy a $\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\!\cdot\! m^{-2}\!\cdot\! K^{-4}}$ je Stefanova-Boltzmannova konstanta. Dokážete podle výsledků z předchozího bodu určit teplotu na povrchu Slunce?

Denisa si v létě zajela na výlet k přehradě. Při její prohlídce si přečetla, že kruhová výpust přehrady se nachází v hloubce $h = 50\,\mathrm{m}$ pod úrovní hladiny vody v přehradě. Denisu překvapilo, jak bouřlivě voda z výpusti vytéká, a tak se začala zamýšlet nad tím, jestli lze výtokovou rychlost vody vypočítat.

Denisa přišla na to, že neustálé odtékání vody z přehrady při neměnné výšce hladiny si lze představit i tak, jakoby se voda přitékající na hladinu najednou „teleportovala“ do výpusti .¹

1. Představte si, že se takto teleportuje objem vody $V$. Pomocí tohoto objemu, hustoty vody $\rho$, výšky $h$ a tíhového zrychlení $g$ vyjádřete změnu potenciální energie $E_{\mathrm{p}}$ tohoto objemu.

2. Denisa zjistila, že asi $k = 63\,\mathrm{\%}$ z této energie se promění na energii kinetickou. S pomocí tohoto poznatku nejdříve vyjádřete rychlost vody ve výpusti $v$ pomocí veličin $\rho$, $h$, $k$, $g$ a $V$ (není potřeba použít všechny), a pak rychlost vody vypočítejte i číselně.

3. Řeka, která do přehrady přivádí veškerou vodu, má v létě průtok $Q = 10\,\mathrm{m^3\!\cdot\! s^{-1}}$. Inženýři při stavbě přehrady ale počítali s tím, že na jaře, kdy řeka může mít průtok i $50 Q$, bude mít výpust dostatečný průměr na to, aby voda pořád odtékala rychlostí $v$. Jaký je tento průměr?

Zajisté jste již slyšeli, že na tenkostěnnou skleničku lze „hrát“ .¹ Výška tónu, který sklenička vydává, je daný zejména tloušťkou a tvarem skleničky, ale také množstvím nápoje, který se v skleničce nachází. Nás by velmi zajímalo, jak závisí výška tónu na tom, kolik do skleničky nalijete vody. Od rodičů si tedy půjčte tenkostěnnou skleničku a pro několik výšek vody zkuste skleničky rozezvučet. Pak odpovězte na tyto otázky:

1. Seřaďte jednotlivá „měření“ podle výšky tónu. Je mezi výškou hladiny v skleničce a výškou tónu nějaká souvislost?

2. Hraje prázdná sklenička nejhlubším, nebo nejvyšším tónem?

3. Změřte, pro jakou výšku hladiny vody v skleničce se vám již nepovede skleničku rozezvučet. Měření několikrát zopakujte a výslednou výšku hladiny vydělte výškou hladiny, když je sklenička naplněná až po okraj.

Chcete-li výšky tónů měřit opravdu vědecky, nainstalujte si volně šiřitelný program pro zpracování zvuků Audacity .²

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Radka zahájila na půdě úklid, při kterém našla starou stavebnici. Zjistila, že dílky stavebnice jsou různé geometrické útvary. Nejvíce tam bylo trojúhelníků se stranami dlouhými $3\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$ a $5\,\mathrm{cm}$.

1. Kolik těchto trojúhelníkových dílů se vejde na čtvercový plán o rozměrech $24\,\mathrm{cm} \times 24\,\mathrm{cm}$ tak, aby se trojúhelníky nepřekrývaly?

2. Radka našla i trojúhelníky s dvojnásobnými rozměry. Kolikrát méně těchto větších útvarů se jí povede uložit na stejně velký plán?

3. Protože kousků v Radčině stavebnici bylo málo, chtěla si z papíru vyrobit další hezké útvary. Pod hezkým útvarem si Radka představuje středově a zároveň osově symetrický útvar. Navrhněte alespoň tři útvary, které splňují tyto podmínky symetrie, a nakreslete osu i střed jejich souměrnosti.

4. Nakonec Radka prozkoumala všechny části stavebnice a našla také rovnoramenný lichoběžník, jehož strany vyjádřeny v centimetrech jsou celá čísla a jehož obsah je $36\,\mathrm{cm^2}$. Jaké mohou být délky stran Radčina lichoběžníku?