Zadání 3. série 8. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

\providecommand{\kcs}{ \textnormal{Kčs}} V Československu byl po válce nedostatek potravin, který byl řešen takzvaným přídělovým systémem, kdy se jídlo dalo koupit jen na potravinové lístky. Tento systém byl zrušen až 1. 6. 1953 spolu s provedením měnové reformy. Během této měnové reformy se mzdy a ceny přepočítaly v poměru $5:1$, zatímco úspory mezi $5\,000\kcs$ a $10\,000\kcs$ byly přepočítány v poměru $6{,}25:1$. O kolik nových peněz by tím přišla rodina, která by měla naspořeno $9\,000\kcs$? Kolik by si za to mohla po měnové reformě koupit chlebů, pokud po reformě stál bochník chleba  $2{,}8\kcs$?¹

Jeden z nejvýznamnějších českých panovníků Karel IV. si potrpěl na symboliku, a tak například Karlův most byl založen 9. července v 5 hodin a 31 minut, což tvoří palindrom a zároveň tomu datu odpovídala konjunkce Slunce se Saturnem. Pokud by se v této památné chvíli chtěl i vyfotografovat, nemohl by použít klasický fotoaparát,¹ ale mohl by celou scénu zobrazit na papír zařízením zvaným camera obscura a pak například obtáhnout uhlem.

Camera obscura je vlastně temná komora s dírkou, kterou se promítá obraz na zadní stranu krabice tak, že výsledný obraz je zrcadlově obrácenou zmenšeninou skutečnosti v poměru daném poměry vzdáleností. Jak vysoký bude obraz Karla IV. v komoře hluboké $30\,\mathrm{cm}$, pokud je od „fotografa“ vzdálen $10\,\mathrm{m}$ a ve skutečnosti byl tento panovník vysoký² $173\,\mathrm{cm}$?

Emil Zátopek jednou před olympiádou trénoval na atletickém okruhu. První  kolečko uběhl rychlostí $v$. Jeho trenér po něm chtěl, aby další kolečko uběhl tak, aby jeho průměrná rychlost za oba okruhy byla $(3/2)v$. Jakou rychlostí musí Emil oběhnout druhé kolečko?

Jednou si jeho trenér řekl, že si z něj udělá legraci a řekl mu, ať oběhne druhé kolečko tak, aby jeho průměrná rychlost¹ byla $2v$. Jakou rychlostí by musel běžet tentokrát?

Bitvy u Domažlic v roce 1431, která byla součástí čtvrté křížové výpravy proti husitům, se účastnilo přes $120~000$ kališníků. Všichni zpívali chorál „Ktož jsú boží bojovníci“ s intenzitou zvuku, kterou odhadněme na $80\,\mathrm{dB}$ ve vzdálenosti jednoho metru od každého pěvce.

Pro připomenutí, decibely fungují tak, že $0\,\mathrm{dB}$ odpovídá výkonu $10^{-12}\,\mathrm{W}$ (což znamená $1/1\,000\,000\,000\,000\,\mathrm{W}$), $10\,\mathrm{dB}$ odpovídá $10^{-11}$ $(1/100\,000\,000\,000)\,\mathrm{W}$, $20\,\mathrm{dB}$ odpovídá $10^{-10}\,\mathrm{W}$ a tak dál. Kališníci zazpívali husitský chorál, který trvá 5 minut, čímž zahnali křižácká vojska.

1. Srovnejte práci vykonanou zpěvem s výstřelem z kuše (energie šípu z kuše je maximálně $150\,\mathrm{J}$), abyste se přesvědčili o tom, jak efektivní neobvyklá husitská strategie byla.

2. Kolik z této „zpěvné“ práce fyzicky zasáhlo křižácké vojsko, které se nacházelo ve vzdálenosti jednoho tisíce metrů, pokud uvažujeme, že uchem přijatý výkon klesá – jako obvykle – s druhou mocninou vzdálenosti?

Při záchraně neumětelského vladyky Horymíra před trestem smrti se jeho věrný kůň Šemík v rámci roubených hradeb Vyšehradu mohl rozbíhat na délce až $300\,\mathrm{m}$, poté ale skočil z výšky $65$ metrů do Vltavy (uvažujte vodorovný vrh).

1. Za jak dlouhou dobu od počátku skoku Šemík dopadl do Vltavy?

2. Jakou rychlostí Šemík opouštěl hradby Vyšehradu, pokud víme, že do vody dopadl $60\,\mathrm{m}$ od místa skoku?

3. S jak velkým zrychlením se musel Šemík rozbíhat, aby dosáhl potřebné rychlosti? Je možné, aby se kůň takhle rychle rozběhl? Porovnejte například se zrychlením auta.

4. Pod jakým úhlem dopadl Šemík do vody?

Určitě jste někdy v ruce měli gumičku. Pokud jste si s ní hráli a použili trochu fyzikální intuice, možná jste si všimli, že síla, kterou gumička působí na vaši ruku po natažení má velikost: $F = k \cdot \Delta l$. Závisí tedy na $\Delta l$ neboli prodloužení, tedy o kolik gumičku natáhnete vzhledem k její klidové délce, a na $k$ neboli tuhosti gumičky. Tuhost je parametr vlastní gumičce, stejně jako je např. mez pevnosti nebo hustota vlastnost jiných předmětů.

Dokázali byste ale přijít na to, jakou bude mít výslednou tuhost soustava gumiček zapojených paralelně (dvě gumičky vedle sebe) a sériově (na sebe, do jedné gumičky)? Změřte experimentálně tuhost jedné gumičky, která vám přišla spolu se zadáním,¹ a poté soustavy dvou sériově a paralelně zapojených gumiček. Výsledky porovnejte s předpokládanými tuhostmi takových soustav. Čím může být způsobený rozdíl?

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Viktor si postavil hydraulický lis. Průřez válce prvního pístu je $S_1 = 50\,\mathrm{cm^2}$, průřez válce druhého pístu $S_2 = 0{,}003\,\mathrm{m^2}$. Na druhý píst Viktor umístil závaží o hmotnosti $m_2 = 200\,\mathrm{g}$.

   1. Spočítejte, o kolik narostl po položení závaží na píst tlak v kapalině, pokud je první píst ukotvený (nemůže se pohybovat).

   2. Jakou silou musí Viktor působit na první píst, aby závaží začalo stoupat?

   3. Jakou práci Viktor vykoná, pokud chce závaží zvednout o $10\,\mathrm{cm}$?

2. Představte si, že jste Pascal a musíte umocnit výraz $(2a + b + 2)$ na pátou. Máte pouze kalkulačku schopnou sčítat, odčítat a násobit a papír s tužkou. Nemusíte sice použít svoji nejsilnější zbraň, svůj trojúhelník, ale bude se vám skutečně hodit. Dokážete to?