Zadání 5. série 4. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Bětka má doma ručičkové hodiny. Jelikož hodiny jsou už velmi staré, nefungují tak, jak by měly – každý den se předbíhají o 2 hodiny. Bětka ale zjistila, že hodiny občas ukazují správný čas. V pondělí v pravé poledne je nastavila tak, aby ukazovaly přesně 12:00 – tedy správný čas. Kolikrát během následujících šesti dnů, tedy až do nedělního poledne, mohla Bětka na hodinách vidět správný čas?

Lukášovi se, během přípravy na písemku z geometrie, zalíbil kubismus. Proto si na papír narýsoval veledílo – kubistickou včelu (viz obrázek 1 ) tvořenou dvěma pravidelnými rovnostrannými šestiúhelníky. Aby neplýtval černou barvou, předem si vypočítal obsah jejich křídel. Jaký je tento obsah, pokud strana menšího šestiúhelníku má délku $1\,\mathrm{cm}$?

Na vývodech černé skříňky (viz obrázek) jsou připojeny tři žárovky $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ a tři výstupy $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ a $\mathit{C}$. Pokud připojíme vhodné napětí mezi vstupy $\mathit{A}$ a $\mathit{B}$, rozsvítí se všechny tři žárovky. Pokud ale zapojíme napětí mezi vstupy $\mathit{B}$ a $\mathit{C}$, svítí pouze žárovky $\alpha$ a $\gamma$.

Nalezněte, jak mohou být vodiče v černé skříňce zapojeny, aby černá skříňka fungovala tak, jak je popsáno výše. Spojovat můžete pouze černě naznačené kontakty. Na jeden kontakt můžete zapojit i více vodičů. Dávejte si ale pozor na zkraty!

Dva závodníci Kuba a Kubo se dohodli, že si své síly změří v běhu na sto metrů. Po týdnech tréninku byli oba schopni dosáhnout stejné maximální rychlosti $v = 9\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Na závodě ale zvolili různou taktiku:

1. Kuba od momentu startu do poloviny závodu konstantně zrychloval na rychlost $v$. Pak mu ale začaly docházet síly, a tak druhou polovinu konstantně zpomaloval do nuly tak, že velikosti jeho zrychlení a zpomalení byly stejné.

2. Naopak Kubo si šetřil síly na konec závodu a vystartoval s (jiným) konstantním zrychlením tak, že v momentě, kdy byl v cíli, běžel rychlostí $v$.

Nakreslete grafy jejich rychlostí v závislosti na čase a rozhodněte, který z kluků závod vyhrál.

{\it Pomůcka:} Pokud netušíte, jak se se zrychlenými pohyby počítá, přečtěte si Výfučtení z 1. série letošního ročníku. Jeho text naleznete na našem webu.

V jaderných elektrárnách se energie získává z jaderné reakce, kde se rozpadá uran a mění se na jiné těžké prvky. Při těchto reakcích vzniká energie ve formě tepla, která ohřívá vodu v tzv. primárním okruhu. Tato voda je pod vysokým tlakem, takže její teplota je vyšší než $100\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Primární okruh pak ohřívá vodu sekundárního okruhu, která se vaří. Vzniklá pára roztáčí turbíny, které pak produkují elektrickou energii. Jednoduché, ne?

1. V typickém reaktoru je asi $1{,}5\,\mathrm{t}$ radioaktivního uranu. Spočtěte, kolik je to atomů. Prozradíme vám, že jádro radioaktivního uranu se skládá z $235$ nukleonů (protonů a neutronů), hmotnost elektronů zanedbejte.

2. Rozpadem jednoho atomu uranu vzniká energie pouze $3{,}2\cdot 10^{-11}\,\mathrm{J}$. Energie, která se za sekundu uvolní v celém reaktoru, je ale až $3\,\mathrm{GJ}$. Spočtěte, jaká hmotnost uranu se tedy v reaktoru za sekundu rozpadá.

3. Voda primárního okruhu protéká reaktorem a ohřívá se. Na vstupu do reaktoru má teplotu $200\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Spočtěte, jakou teplotu má na výstupu z reaktoru, pokud je její průtok reaktorem $24\,\mathrm{m^3\!\cdot\! s^{-1}}$. ¹ Předpokládejte, že všechno teplo uvolněné v reaktoru se spotřebuje na ohřátí vody.

4. Palivo v reaktoru se považuje za vyhořelé již tehdy, když se rozpadne $25\,\mathrm{\%}$ z jeho původní hmotnosti. Spočtěte proto, za kolik dní jedna sada paliva vyhoří.

Vaší úlohou bude změřit hustotu řepkového oleje. Že je to moc jednoduché? A co když vám řekneme, že to máte udělat pomocí stopek?

Jak na to? Se zadáním jste dostali balíček s malými skleněnými kuličkami. ¹ Stopkami budete měřit čas, za který se kulička ponoří na dno nádoby s olejem. Obstarejte si alespoň $4\,\mathrm{dl}$ řepkového oleje a nalijte ho do menší nádoby, například do půllitrové láhve. Změřte, do jaké výšky $h$ olej sahá. Pak si vezměte kuličky a jednu po druhé nechte v oleji padat s nulovou počáteční rychlostí. Vždy změřte čas $t$, za který kulička spadne až na dno. Toto měření alespoň $10$-krát opakujte a spočtěte průměrnou hodnotu času padání $\overline{t}$. Odhadněte anebo spočtěte i nepřesnost tohoto výsledku.

Hustotu oleje vypočítáte pomocí formuláře na naší stránce², kde stačí dosadit naměřené hodnoty $h$ a $\overline{t}$. Hodnotu $\rho_{\mathrm{o}}$, která vám vyšla, opište do řešení. V tabulkách nebo na internetu pak nalezněte skutečnou hustotu oleje $\rho_{\mathrm{o}}^\ast$ a vypočítejte relativní odchylku měření \begin{equation*} \delta = \frac{|\rho_{\mathrm{o}}^\ast - \rho_{\mathrm{o}}|}{\rho_{\mathrm{o}}^\ast}\,. \end{equation*} Nepoužité i použité kuličky nám vracet nemusíte :-).

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Katka strávila den na pouti. Spokojená cestuje domů autobusem spolu se svým úlovkem, růžovým balónkem naplněným heliem. Řidič autobusu, spokojený, protože mu končí směna, před sebou spatří semafor, na kterém svítí červená. Šlápne proto prudce na brzdy. Setrvačná síla hodí nespokojenou Katku a ostatní cestující dopředu. Stane se to samé i s balónkem? Vysvětlete, kam se bude pohybovat balón a proč je tomu tak.

2. Tíhové zrychlení na pólech je $g_{\mathrm{p}} = 9{,}83\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}}$. Vypočítejte, jaké bude tíhové zrychlení na rovníku $g_{\mathrm{r}}$, pokud uvážíte, že na rovníku působí proti gravitační síle Země síla odstředivá. Rovníkový poloměr Země je $R_{\mathrm{Z}} = 6\,378\,\mathrm{km}$ a Země samotná se otočí jednou kolem své osy za $T_{\mathrm{Z}} = 24\,\mathrm{h} = 86\,\,\mathrm{400 s}$.