Zadání 5. série 5. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Bětka s Čajkou si chtěly zahrát Dobble, ale neměly hrací karty. Protože jsou tvořivé, rozhodly se karty vyrobit. Domluvily se, že na každé kartě budou nakresleny tři různé symboly a že celkem použijí 7 různých symbolů. Kolik různých karet mohou vytvořit? Ve hře Dobble mají každé dvě karty stejný právě jeden symbol. Kolik karet Bětce s Čajkou zůstane, aby bylo splněno toto pravidlo?

Terka si chystá na karneval kostým Zlatovlásky. Během příprav ji napadlo, že by si místo paruky nechala vlasy pozlatit – na každý vlas by nanesla $5\,\mathrm{\upmu m}$ tlustou vrstvu zlata. Kolik zlata by Terka potřebovala? Předpokládejte, že všech sto tisíc Terčiných vlasů má délku $0{,}5\,\mathrm{m}$, průměr $60\,\mathrm{\upmu m}$ a tvar válce. Hustota zlata je $19\,000\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$.

Kuba a Paťo jednou vymýšleli strategii pro štafetový běh, kterého se chtěli s Verčou zúčastnit. Běžecká dráha je dlouhá tři kilometry a štafetově ji poběží všichni tři, přičemž Paťo běží rychlostí $5\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$, Verča $10\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$ a Kuba $15\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. Kuba navrhoval, aby každý z běžců běžel stejně dlouho, zatímco Paťo zastával strategii, že každý poběží stejně dlouhý úsek. Podle které strategie doběhne tým do cíle za kratší čas?

David loni psal dlouhou školní práci. Jako velký ochranář přírody se ale neuměl rozhodnout, co je ekologičtější – napsat práci na počítači, nebo sepsat práci ručně. David zjistil, že:

• práce napsaná na počítači a vytištěná by měla 32 stran,

• Davidův počítač má příkon $75\,\mathrm{W}$,

• elektrárna, která Davidovi dodává elektřinu, vyrobí spálením stejného množství dřeva jako je potřeba na výrobu $1\,\mathrm{kg}$ papíru $3\,\mathrm{MJ}$ elektrické energie,

• práce napsaná rukou by měla 48 stran,

• David má po ruce papír o rozměru A4 a standardní gramáži $80\,\mathrm{g\!\cdot\! m^{-2}}$.

Pomozte Davidovi a vypočítejte, za jakou dobu musí David stihnout práci napsat na počítači, aby byla tato možnost stejně ekologická co se spotřeby papíru týče, jako samotné psaní na papír?

Nedílnou součástí všech velikých oslav je zábava, při které se účastníci snaží strhnout z prostřeného stolu ubrus tak, aby ze stolu nic nespadlo na zem. Podívejme se na tento trik zblízka.

Vycházet budeme z druhého Newtonova zákona, který lze zapsat jako $F = ma$. Zákon lze chápat dvojím způsobem:

• působí-li na těleso o hmotnosti $m$ výsledná síla o velikosti $F$, těleso bude zrychlovat se zrychlením o velikosti $a$ ve směru shodném se směrem působící síly,

• zrychluje-li podložka zrychlením $a$, v soustavě spojené s podložkou působí na všechny předměty na podložce setrvačná síla o velikosti $F$ ve směru opačném vůči směru zrychlení $a$.

Zde roli podložky bude hrát ubrus. Na něm je položen talíř o hmotnosti $m = 300\,\mathrm{g}$. Koeficient tření ¹ mezi talířem a ubrusem je roven $f = 0{,}2$.

1. Adam zatáhl za ubrus tak, že se začal pohybovat se zrychlením $a_1 = 1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}}$. K jeho překvapení se talíř začal pohybovat spolu s ubrusem. Nakreslete obrázek, do kterého šipkami zaznačíte síly, které na talíř působí. Vypočítejte výslednou sílu, která působila na talíř v soustavě spojené s ubrusem.

2. Vypočítejte, jaké musí být nejmenší zrychlení $a_2$, aby setrvačná síla překonala sílu tření, a talíř se vzhledem k ubrusu začal pohybovat.

3. Borek proto zatáhl za ubrus tak, že zrychloval se zrychlením $3a_2$. Určete velikost a směr zrychlení $a_3$ talíře v soustavě spojené s ubrusem.

4. I když Borek za ubrus zatáhl dostatečnou silou, talíř se začal pohybovat i vůči stolu. Vypočítejte velikost a směr tohoto zrychlení $a_3'$.

5. Pokud jste správně počítali, zrychlení $a_3'$ vyšlo nezávislé na zrychlení  $a_2$. To by ale mělo znamenat, že k úspěšnému strhnutí ubrusu stačí překonat zrychlení $a_2$. Proč je ale lepší ubrus strhávat co největší silou (s největším zrychlením)?

Pořiďte si dva 40-stranové sešity A4, klidně i popsané. Pak sešity spojte tím, že budete prokládat jednotlivé stránky. Poté změřte, jakou silou musíte na jeden ze sešitů působit, abyste je od sebe odtrhli. Měření zopakujte pětkrát pro alespoň pět různých počtů proložených stránek.

Poté nakreslete graf závislosti použité síly na počtu proložených stránek a z grafu odhadněte, jaká síla je zapotřebí na odtrhnutí úplně proložených sešitů.

Způsob, jak sílu působící na sešit změřit, necháváme na vaší fantazii. V řešení se ale o něj nezapomeňte podělit!

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Marťanský rover Curiosity je jedna z pojízdných laboratoří, které i teď brázdí povrch Marsu a zkoumají tuto zvláštní planetu. Vypočítejte nejkratší čas, za který signál vyslaný vozítkem dorazí na Zem. Uvažte, že signál se šíří rychlostí světla, Země i Mars obíhají kolem Slunce po téměř kruhových dráhách s poloměry $a_{\mathrm{Z}} = 1\,\mathrm{au}$ a $a_{\mathrm{M}} = 1{,}5\,\mathrm{au}$.

2. Ondra jednou pozoroval svojí oblíbenou cefeidu a měřil, jak se mění její zdánlivá hvězdná velikost $m$ v čase $t$, viz tabulku. Pomozte Ondrovi a z naměřených dat zjistěte periodu jeho cefeidy a průměrnou zdánlivou hvězdnou velikost (průměrujte pouze v rámci jedné periody). S pomocí textu Výfučtení pak spočtěte její absolutní hvězdnou velikost a konečně i její vzdálenost od Země.