Zadání 4. série 6. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Tři zahrádkáři se nedokázali domluvit, který z nich má prostornější zahradu. První tvrdil, že jeho obdélníková zahrada má strany o délce $40$ yardů a $545$ palců. Druhý řekl, že ta jeho má strany dlouhé $0{,}02$ míle a $150$ decimetrů a poslední se chlubil rozměry své zahrady, jež byly $20$ stop a $415$ pídí.

Rozhodněte, který ze zahrádkářů má největší zahradu. Svůj výsledek nezapomeňte podložit výpočty!

Radka si vyjela na výlet do italské Pisy. Stojíc před věží, která se naklání do strany o $4^\circ$, se začala obávat, zda-li se věž nemůže pod tíhou turistů naklánějících se přes horní pravý okraj věže převrhnout.

Radka si jako dobrá fyzička uvědomila, že se věž převrhne teprve tehdy, když bude její těžiště (pokládejme věž za homogenní válec s výškou $58\,\mathrm{m}$, průměrem $15\,\mathrm{m}$ a hmotností $14\,700\,\mathrm{t}$), zkombinované ¹ s těžištěm turistů mimo podstavu věže, která sedí na zemi (viz obrázek 1 ). Zjistěte, jakou hmotnost musí mít turisté (jejich rozměry klidně zanedbejte), aby se tak stalo. Má se Radka něčeho obávat?

Pomůcka. Nejjednodušeji se úloha vyřeší tak, že si věž v příslušném poměru narýsujete a geometricky najdete polohu těžiště pro maximální lidskou zátěž.

Eva jednou potkala Petra a chtěla mu ukázat nejnovější pokus demonstrující třecí sílu. Na desku s nalepeným brusným papírem položila dva kvádry, mezi kterými napnula pružinku bez toho, aby se kvádry na desce pohnuly.

Eva ale nepatří mezi ty nejšikovnější a deska s kvádry jí vypadla z rukou a začala padat k zemi (viz obrázek 1 ). K Evinu překvapení se ale kvádry na desce začaly během pádu pohybovat. Popište, jakým směrem se kvádry rozpohybovaly a vysvětlete, jak je něco takového možné.

K dispozici máte libovolný počet rezistorů s odporem $1\,\mathrm{\Omega}$. Zapojte je tak, aby výsledný odpor zapojení byl přesně $2{,}7\,\mathrm{\Omega}$ a zkuste při tom použít co nejméně rezistorů. Nejefektivnější zapojení budou bodově ohodnocena.

Challenge. Paťo navrhl řešení s použitím pouze osmi rezistorů. Najdete lepší řešení?

Marek si postavil domek na stromě a rád v něm tráví čas. Na podzim v domku ale bývá docela zima, neboť venku je teplota $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Marek si uvnitř proto topí topením s výkonem $180\,\mathrm{W}$. Po dlouhém pobytu v domku je tak jeho vnitřek vyhřátý na příjemných $24\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

1. Teplotní rovnováha v domku nastane tehdy, když je výkon, kterým v něm topíme, stejný jako výkon, který se přes okna a zdi ztrácí. Tento ztrátový výkon je úměrný rozdílu teplot uvnitř a vně domku. Vypočítejte, kolikrát má větší ztrátový výkon domek, v němž je udržována teplota $24\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ vůči domku s vnitřní teplotou $17\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

2. Jaká teplota se ustálí v domku po tom, co Marek vypne topení a z domku na dlouhou dobu odejde?

3. Jednou se topení v domku porouchalo. Marek doufal, že si místnost vytopí pouze výkonem vlastního těla (tedy asi $100\,\mathrm{W}$). Na jaké hodnotě se ustálí teplota uvnitř domku v tomto případě? Předpokládejte, že výkon Markova těla se s měnící teplotou v domku nemění.

Změřte, jakou tlakovou silou působí přiložený kolíček na pověšené prádlo, tedy v našem případě na kancelářský papír. My vám pouze prozradíme, že koeficient tření mezi dřevem, ze kterého je kolíček vyroben, a běžným kancelářským papírem je $f = 0{,}5$.

Pomoci vám může poznatek, že třecí síla $F_{\mathrm{t}}$ je $f$-násobek příslušné tlakové síly $F_{\mathrm{p}}$ a přiložený obrázek. Samotný postup měření navrhněte sami. Měření ale rozhodně zopakujte vícekrát a naměřené hodnoty zprůměrujte. Zamyslete se též nad nepřesností vašeho měření.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Honza si trénoval házení frisbee. V jedné obskurní knížce o technice házení si přečetl, že lepší hod a delší dolet má frisbee s vyšší celkovou energií – frisbee totiž letí těsně po hodu tak, že se otáčí kolem svého středu obvodovou rychlostí $v_{\mathrm{o}}$ a navíc se pohybuje vpřed posuvnou rychlostí $v_{\mathrm{p}}$.

Honza umí házet frisbee tak, že $v_{\mathrm{o}} = 1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ a $v_{\mathrm{p}} = 2\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Neumí se ale rozhodnout, co si má trénovat: má usilovat o zvýšení obvodové, nebo posuvné rychlosti o $\Delta v = 0{,}5\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$? Jinými slovy, má se snažit házet rychlejší nebo více roztočené frisbee?

Předpokládejte, že frisbee má přibližně tvar tenkého disku (válce) o poloměru $10\,\mathrm{cm}$ a hmotnosti $200\,\mathrm{g}$.