Zadání 1. série 5. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Kuba bydlí poblíž velkého překladiště, do kterého neustále přijíždějí auta s nejrůznějším zbožím. Pozorováním tohoto shonu pod okny časem zjistil, že:

• osobní auta přijíždějí každých $10\,\mathrm{minut}$ a na překladiště dovezou vždy přesně $20\,\mathrm{kg}$ úhledně zabalených tenisových míčků,

• malé dodávky se na překladišti objeví v průměru jednou za $45\,\mathrm{minut}$, přičemž každá z nich doveze $210\,\mathrm{kg}$ hopíků,

• každých $50\,\mathrm{minut}$ přijede velký kamion a na překladiště vyloží $1\,500\,\mathrm{kg}$ skleněných kuliček.

Všechno toto kulaté zboží je pak přeloženo na vlak. Ten je složen ze tří vagónů, nosnost každého z nich je $16{,}5\,\mathrm{t}$. Jakmile je vlak naplněn, z nádraží odjede. Zjistěte, jak často musí vlak z nádraží odjíždět, tzn. vypočtěte, za jak dlouho se vlak naplní.

Nejlepší firma na výrobu míčků v okolí vděčí za svůj úspěch zejména revoluční myšlence úhledně balit míčky do krabic, které mají tvar krychle s hranou dlouhou $20\,\mathrm{cm}$. Poloměr balených míčků je $5\,\mathrm{cm}$.

1. Kolik míčků se vejde do jedné krabice? Nakreslete nám obrázek, jak míčky do krabice naskládat tak, aby se jich tam vešlo co nejvíce.

2. Jakou část objemu krabice zabírají takto uložené míčky?

{\it Pomůcka:} Objem koule s poloměrem $r$ je \begin{equation*} V_\text{koule} = \frac{4}{3} \pi r^3\,. \end{equation*}

Petr je velký ekolog. Proto všechnu dešťovou vodu, kterou sesbírá ze střechy své kůlny, svádí do sudu a používá ji na zalévání zahrádky během sucha. Poněvadž toto léto bylo opravdu sucho, prvního srpna Petrovy zásoby vody v sudu došly. Naštěstí meteorologové předpovídali na následující dny déšť (viz obrázek).

Petr proto postavil sud pod okap a zahrádku opustil. A skutečně, déšť se přesně podle předpovědi dostavil a pršelo opravdu vydatně několik následujících dní. Když se Petr šestého srpna na zahrádku vrátil, čekalo ho překvapení – sud přetekl a voda pocákala vše okolo. „To je divné,“ pomyslel si, „přece tolik nepršelo. Vždyť jsem si všechno pečlivě spočítal!“

Pomozte Petrovi vyřešit tuto záhadu. Nakreslete graf, kde vynesete změnu výšky hladiny vody v sudu v závislosti na čase .¹ Graf rovněž pečlivě popište, nezapomeňte na označení os a jednotek. Rovněž v grafu vyznačte, kdy začal sud přetékat.

Střecha, ze které je voda sváděna, má (shora) rozměry $3\,\mathrm{m} \times 4\,\mathrm{m}$, sud je vysoký $80\,\mathrm{cm}$ a obsah jeho dna je $0{,}6\,\mathrm{m^2}$. Vodu, která napršela přímo do sudu, zanedbejte.

Radka našla na Matfyzu starou kouli z hliníku. Když ji chtěla zahodit do Vltavy, koule překvapivě začala na vodě plovat tak, že ponořena byla přesně polovina jejího objemu. Radka jako správná fyzička usoudila, že koule, jež je vyrobena z hliníku o hustotě $2\,500\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$, plove na vodě pouze v případě, že je dutá.

Jak tlustou stěnu měla Radčina koule, pokud byl její poloměr $10\,\mathrm{cm}$? Hmotnost vzduchu, který se nachází v dutině, klidně zanedbejte.

Jeden horký letní večer myslel Jindra na zimní prázdniny a na jeho oblíbený hokej. Když byl naposledy na stadionu, led byl perfektně kluzký, jen měl jednu vadu – kluziště nebylo vodorovné.

Jindra to poznal tak, že puk, který položil do středu kluziště, se začal sám bez tření klouzat přímo k jednomu z delších mantinelů. Stopkami Jindra změřil, že tato „cesta“ puku trvá přesně $13{,}3\,\mathrm{s}$. Toto zjištění ale Jindru moc nepotěšilo, neboť všechny rovné střely na bránu budou na nakloněném kluzišti vybočovat.

1. Jindra stojí ve středu kluziště a střílí přímo na střed branky rychlostí $v_1 = 4\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Jak se domníval, bránu kvůli náklonu kluziště netrefil. Nakreslete, jak asi vypadala trajektorie puku, který Jindra vystřelil.

2. Vypočítejte, o kolik byla Jindrova střela odchýlena od středu branky v čase, kdy byla na úrovni brankové čáry.

3. Jakou nejmenší rychlostí $v_2$ musí Jindra vystřelit, aby bránu trefil?

4. Jak velkou rychlost by měl takto vystřelený puk v čase průchodu brankovou čárou?

5. Určete velikost úhlu náklonu kluziště.

Vaším úkolem bude změřit, jaký největší objem vody je možné nakapat ¹ na mince o hodnotách $10\,\mathrm{\textrm{Kč}}$ a $50\,\mathrm{\textrm{Kč}}$ tak, aby se kapka na minci udržela. Aby bylo vaše měření přesné, pro každou minci jej zopakujte alespoň $10$krát a naměřené hodnoty zprůměrujte.

Pak experiment zopakujte s vodou, do které přidáte trochu prostředku na mytí nádobí. Jak se změnila schopnost vody tvořit velké kapky? Kolikrát se zvětšil nebo zmenšil průměrný objem kapky?

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Výfuček je velký fanoušek kartézské soustavy souřadnic. On sám používá takovou, která má počátek (bod $[{0,0}]$) ve svém domě. Osa $x$ směruje na východ, osa $y$ na sever.

1. O víkendu se Výfuček vybral ze svého domu na procházku. Nejprve se přesunul o vektor $({1,3})\,\mathrm{km}$, poté o vektor $({2,-1})\,\mathrm{km}$ a nakonec o $({1,-5})\,\mathrm{km}$. Určete polohu bodu, kde se právě nachází.

2. Jak vzdálený je od Výfučka jeho dům?

3. Výfučkův kamarád Paťo bydlí $4\,\mathrm{km}$ daleko od místa, kde se Výfuček nachází. Vektor Paťovy polohy (vektor spojující Výfučkovu aktuální polohu a bod, kde se Paťo nachází) svírá s osou $x$ úhel $60^\circ$. Určete, kolik kilometrů musí Výfuček ujet ve směrech os $x$ a $y$, aby za Patěm došel.