Zadání 4. série 8. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Pepu na výletě zaskočila bouřka. Chtěl vědět, jak daleko je a jako časomíru použil svůj vlastní tep. Změřil, že od zablesknutí se hrom ozve za 21 tepů. Pepův tep je $70\,\mathrm{\text{tepů/min}}$. Počítáte-li s rychlostí zvuku $v = 333{,}3\,\mathrm{m/s}$, jak daleko je bouřka (resp. blesk, který slyšel) od Pepy?

Během vánočních prázdnin napadalo velké množství sněhu, které bylo třeba odklidit ze dvou sousedních luk. První  louka má dvojnásobnou plochu oproti té druhé. Skupinka organizátorů se ráno vrhne na první, větší louku, a začne ji odhrabávat. V polovině pracovní doby se pak skupinka rozdělí na poloviny – první polovina zůstane na velké louce a druhá začne práci na menší. Na konci pracovní doby je velká louka uklizená a na malé louce zbude tolik sněhu, že jej dokáže uklidit jeden organizátor za jeden den. Kolik organizátorů odklízelo sníh první den?

Mišo jedoucí ve své lokomotivě původní rychlostí $v_0$ začal rovnoměrně brzdit tak, aby do zastavení ujel pouze další dráhu $s$. Vzápětí (tj. na začátku brzdné dráhy) si však všiml, že v polovině zbývající dráhy leží spadlý kmen stromu. Protože rychleji brzdit nemohl, nezbylo Mišovi než rychle počítat. Kolik z celkového brzdného času $t$ uběhne až do chvíle kontaktu s překážkou na trati? Při řešení vám pomůže znázornění pohybu pomocí grafu.

Marcovi velmi chutná čočka. Jednoho dne si pořídil spojnou, která má ohniskovou vzdálenost $1\,\mathrm{cm}$ z obou stran, a k tomu druhou, také spojnou o dvojnásobné ohniskové vzdálenosti. Nejdříve se podíval na fazoli o výšce $2\,\mathrm{cm}$ první čočkou, kterou umístil do vzdálenosti také $2\,\mathrm{cm}$ od fazole. Poté o $5\,\mathrm{cm}$ blíže ke svým očím umístil druhou, takže se na fazoli díval skrz obě čočky. Protože má ale Marco dvě oči, může rozpoznat, kde v prostoru leží výsledný obraz fazole po průchodu světla oběma čočkami a jakou má vzdálenost od druhé čočky. Kde leží výsledný obraz fazole a jak je vysoký?

Některé kolotoče na poutích se dokáží sklápět tak, že návštěvníci sedí nakloněni na stranu pod úhlem $45^\circ$ vůči zemi jednou nad a jindy pod původní vodorovnou hladinou, přičemž je osa otáčení stále kolmá k zemi tak jako na obrázku. Jednou si Bětka do takového kolotoče s koeficientem smykového tření $\mu$ sedla¹ (pohledem ve směru otáčení), byla připoutaná a nedržela se. Při dostatečně rychlých otáčkách však tření přestalo stačit a Bětka se musela chytit, aby zůstala na místě. Tíhové zrychlení $g$ považujeme jako obvykle za známé.

1. Určete maximální otáčky kolotoče, kdy se Bětka ještě nemusí držet, pokud je mezi Bětkou a osou kolotoče známá vzdálenost $r$ a kolotoč je zpočátku nastaven do vodorovné polohy.

2. Jak velká je maximální možná na Bětku působící třecí síla při hmotnosti $m$, pokud ji kolotoč naklopí o $45^\circ$ k zemi, avšak při stejné délce ramene² a dané rychlosti otáčení $\omega$ kolem stále svislé osy?

3. Jaké jsou v takovém případě opět maximální otáčky bez držení? Jaké podmínky by měl z toho splňovat koeficient tření, aby se návštěva poutě odehrála postupně tak, jak je popsáno v prvním odstavci?

4. Pokud naopak rameno zvedneme o $45^\circ$ nad původní polohu, jak se obě podmínky změní?

Své výsledky můžete uvést v úhlové rychlosti ($\omega$) i frekvenci ($f$).

Obyčejná voda tuhne zhruba při $0\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ za pokojového tlaku, avšak vodné roztoky mohou tuhnout i při nižších teplotách. Nemrznoucí kapaliny používané pro provoz dopravních prostředků za třeskutých mrazů využívají tohoto principu a ve směsi s vodou posouvají bod tuhnutí o více než $30\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ níže. Obvykle jde však o jedovaté látky s dalšími zvláštními vlastnostmi. My si vyrobíme vlastní nemrznoucí kapalinu z netoxické jedlé soli $\ce{NaCl}$ a vody. Určete teplotu ve vašem¹ mrazáku, a pokud je vyšší než $-20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ (v opačném případě mu můžete snížit výkon), najděte, jaký je minimální obsah soli ve vašem roztoku, při kterém za této teploty roztok nezmrzne. Vyhodnoťte také přesnost vašeho měření.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Pan Ashkin byl velice laskav, a tak nám zapůjčil jeden ze svých experimentálních zelených laserů¹ s výkonem $1\,\mathrm{W}$. My ho ovšem budeme používat pro poněkud jiné účely.

1. Vypočítejte, kolik tento laser uvolní fotonů za čas $193{,}2\,\mathrm{ms}$, které vyžaduje náš pomyslený experiment.

2. Jaká je průměrná intenzita v ohnisku tohoto laseru, pokud jej zaostříme do kruhu o průměru $1\,\mathrm{\upmu m}$?

3. Nedopatřením jsme při experimentu vedle laseru kýchli, když mířil ke stropu, a zjistili, že některé nejmenší kapénky vzduch zvolna donesl až na ohnisko, kde se udržely proti tíhové síle. Odhadněte jejich hmotnost, pokud jste mikroskopem určili $0{,}5\,\mathrm{\upmu m}$ jako jejich nejmenší průměr (uvažujte, že i když se mohou opticky chovat jako voda (pro danou barvu světla), jejich hustota může být vyšší kvůli různým příměsím – laser může unést větší hmotnost při opticky stejném materiálu) .²