Zadání 4. série 4. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Kubo byl o prázdninách v daleké Číně. Během své cesty se zastavil i ve starověkém chrámu. Na zdi si všiml hádanky. Starý mnich mu řekl, že cestovatelé jako on mohou zkusit napsat, jaké heslo se skrývá za otazníky. Je-li pokus nesprávný, mnich ho vyhodnotí:

\parbox[t]{5cm}{

• za každé správné písmeno na správné pozici připíše černý kroužek,

• za každé správné písmeno na nesprávné pozici připíše bílý kroužek.

Tři organizátoři Výfuku – Andřejka, Radka a Paťo se jednou setkali ve frontě na oběd. Na výběr mají z pěti jídel. Jako první si jídlo vybírá Andřejka, pak Radka a nakonec Paťo. Jaká je pravděpodobnost, že právě dva z nich si vyberou stejné jídlo?

Pravděpodobnost vypočítáte tak, že nejprve určíte, kolika možnými způsoby si lze vybrat taková jídla, aby dvě z nich byla stejná. Pak toto číslo vydělíte počtem všech možností. Poněvadž má každý na výběr z pěti jídel, počet všech možností, jakými si mohou vybrat oběd, je $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Mocný faraon Ráchef se z rozmařilosti rozhodl, že přestěhuje pyramidu svého děda. Přemístit ji hodlá po písku o celý jeden kilometr a vaším úkolem je vypočítat, kolik otroků má najmout, jestliže jeden otrok dokáže vyvinout sílu $F = 500\,\mathrm{N}$. Podstava pyramidy je čtverec se stranou dlouhou $a = 20\,\mathrm{m}$, její výška je $h = 24\,\mathrm{m}$. Další potřebné informace k výpočtu (např. hustotu kamene, koeficient tření, …) si vyhledejte, případně je rozumně odhadněte.

Z měřicí stanice Českého hydrometeorologického ústavu ¹ víme informace o řece Březné protékající Hoštejnem.

Zjistili jsme, že 9. 1. 2015 ve 14:00 byl stav vody $h_1 = 82\,\mathrm{cm}$ a průtok $Q_1 = 2{,}05\,\mathrm{m^3\!\cdot\! s^{-1}}$. O den později, 10. 1. 2015, ve 14:10 byl stav vody $h_2 = 166\,\mathrm{cm}$ a průtok $Q_2 = 30{,}5\,\mathrm{m^3\!\cdot\! s^{-1}}$. Tím bylo dosaženo tzv. pětileté vody.

Kolikrát rychleji tekla řeka Březná, když víme, že její průřez je stejný jako na obrázku 1 ?

Dominik má plné ruce práce s konstrukcí svého nejnovějšího přístroje. Na to, aby správně fungoval, potřebuje sestrojit jednoduchý převod (viz obrázek 1 ). Skládá se ze dvou homogenních disků ze stejného materiálu a o stejné tloušťce. Jeden disk má ale $3$-krát větší poloměr. Dominik již zjistil, že na roztočení velkého disku na úhlovou rychlost $\omega_1$ spotřebuje energii $E_1$. Navíc vypozoroval, že tato energie je přímo úměrná součinu $m_1r_1^2\omega_1^2$ ($m_1$ je hmotnost disku a $r_1$ jeho poloměr). Dominika by zajímalo, kolik energie spotřebuje na roztočení celého převodu.

1. Spočítejte poměr hmotností většího a menšího disku.

2. Jaký je poměr energií disků, pokud je před smontováním do převodu roztočíme na stejnou úhlovou rychlost $\omega_1$?

3. Po smontování se disky dotýkají a vzájemně roztáčejí tak, že obvodová rychlost disků je stejná (disky tedy neprokluzují), tzn. $v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$. Vyjádřete úhlovou rychlost $\omega_2$ pomocí $\omega_1$.

4. Nakonec určete, jaký bude poměr energií disků v převodu.

Lidé zkoušejí různé věci. V Británii se třeba rozhodli vyzkoušet projet $360^\circ$ smyčku. ¹ To samozřejmě není tak jednoduché – pokud do smyčky najedeme příliš pomalu, trik se nám nepovede. Vaší úlohou je zjistit, jak tato minimální rychlost závisí na průměru smyčky.

Proto si smyčku zkonstruujte (například z pevné plastové fólie, kterou zpevníte drátem, lepící páskou apod.). Vezměte si hopík nebo jinou kuličku, umístěte ji na nakloněnou rovinu a vypouštějte ji do smyčky z různých výšek. Pokus několikrát zopakujte a pokuste se najít nejmenší výšku, při které kulička smyčkou projede. V řešení nezapomeňte uvést i průměr vaší smyčky.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Zjednodušte následující součty a rozdíly: \begin{equation*} \left[ \left(a - 2b \right) + 3c \right] -\{ 4d + \left[ 5a - \left( 6b + 7c \right)\right] - 8d \} =~? \end{equation*}

2. Zjednodušte a vypočítejte pomocí pravidel pro operace s mocninami: \begin{equation*} 2^{1/3} \cdot 32^{1/4} \cdot 4^{1/3} \cdot 8^{1/4} =~? \end{equation*}

3. Jaká čísla (popř. číslo) řeší následující rovnici? \begin{equation*} 1 = \frac{1}{4}x^2 + 5x - 10 \end{equation*}

4. Jaké rozměry má obdélník, jehož obvod měří $o = 24\,\mathrm{cm}$ a jeho obsah je $S = 35\,\mathrm{cm^2}$?