Zadání 4. série 2. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Franta z Rána se jde mýt. Má pokažený bojler, tak si vodu ohřeje na sporáku. Od minulého koupání ví, že když připravená voda ve vaně bude mít $47\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, než se svlékne a ponoří se do ní, bude mít voda optimální teplotu. Vroucí voda z jeho sporáku má $98\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ a voda z vodovodu $15\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Ve vaně chce mít celkem $100\,\mathrm{l}$ vody. Kolik vody musí dát ohřát, když při vaření se mu $2\,\mathrm{\%}$ vody vypaří?

Zjistěte, kde se nachází těžiště kostky v tvaru písmene L složené ze tří stejných čtverců. Jeden čtverec má délku strany $a$.

Minule jsme si ukazovali, jak za pomoci tajů kinematiky a rotujících kotoučů určit rychlost letícího broku ze vzduchovky. Nyní si ukážeme obdobný experiment, avšak upotřebíme polystyrenového kyvadla, které zavěsíme na tenké lanko ke stropu a do něhož následně vypálíme brok. Kyvadlo se po dopadu střely vychýlí z rovnovážné polohy horizontálně o $9\,\mathrm{cm}$. Určete rychlost letící střely před nárazem do kyvadla. Hmotnost střely je $0{,}5\,\mathrm{g}$, hmotnost kyvadla $625\,\mathrm{g}$, délka lanka $3{,}8\,\mathrm{m}$, naměřená výchylka $9\,\mathrm{cm}$. Pozor, kulka po vniku do polystyrenu přemění většinu své energie na teplo!\hfill

Při posledním experimentu v laboratoři se matfyzákům podařilo náhodou rozbít velký rtuťový teploměr. V teploměru zůstala kapička rtuti dlouhá $h = 10\,\mathrm{cm}$, která v něm uzavírá vzduch. Když je směrem k zemi otočený rozbitý konec teploměru, vzduchová bublina je dlouhá  $l_1 = 21{,}5\,\mathrm{cm}$. A když k zemi směruje zatavený konec teploměru, tíha rtuti vzduch v něm stlačí na délku $l_2 = 16{,}5\,\mathrm{cm}$. Z těchto údajů vypočtěte atmosferický tlak. Hustota rtuti je $\rho = 13\,500\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$ a tíhové zrychlení je $g = 10\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}}$.\hfill

Vezměte si sklenici a nasypte do ní čočku. Jak můžete vidět, v čočce jsou vzduchové mezery. Změřte, jakou část objemu sklenice tvoří tyto mezery. Měření opakujte i pro krystalový cukr. Jako obvykle, pořádně popište, jak jste měření provedli, a nezapomeňte ho vícekrát opakovat.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

1. Na Higgsův boson (částice) působí dvě síly, jejichž vektory svírají úhel $\pi/6$. První síla je velká $5\,\mathrm{N}$, druhá je velká $4\,\mathrm{N}$ a je téže orientace. Jaká je velikost výsledné síly?
   Pomůcka Nakreslete si obrázek.

2. V historické části textu jsme se dozvěděli, že Hipparchos odvodil vztah pro výpočet délky tětivy příslušné (tedy v závislosti na) danému středovému úhlu. Odvoďte jej také.

3. Odvoďte pomocí součtových vzorců vzorce pro $\sin(2\alpha)$ a $\cos(2\alpha)$.