Zadání 2. série 5. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Jednou se organizátoři sešli v osvětlené místnosti a povídali si dlouho do noci. Mezi řečí si David položil otázku, proč nevidí ven skrz okno, zatímco kdyby stál venku, tak dovnitř vidí krásně. Hned se zeptal ostatních, jak to funguje. Po chvíli si všichni uvědomili, proč tomu tak je. Přijdete na to i vy?

Andřejce se stýskalo po létě, a tak se jela slunit k moři. Při celodenním ležení na pláži si všimla, že bóje označující konec prostoru pro plavání je při odlivu vlnami posunuta směrem k pláži, kam až jí úvaz dovolí. Celkem to je o $9\,\mathrm{m}$ oproti poloze při přílivu, kdy je úvaz právě tak dlouhý, aby bóje byla ještě na hladině. Jak dlouhý úvaz je, pokud je na Andřejčině pláži rozdíl hladiny při přílivu a odlivu $5\,\mathrm{m}$?

Píše se rok $3\,333$ a výzkum vzdálených planet je v plném proudu. Přednedávnem dvě kosmické lodě úspěšně přistály na dvou malých planetách, označených $\alpha$ a $\beta$. Obě lodě byly vybaveny citlivými senzory, které měřily základní parametry planetek. Senzory zjistily, že na planetě $\alpha$ trvá den šestkrát déle než na planetě $\beta$ a dále zjistily, že poloměr planety $\alpha$ je oproti poloměru planety $\beta$ čtyřnásobný. Po chvilce měření se ale oba senzory porouchaly, a to kvůli přílišné odstředivé síle, která na ně působila. Zjistěte, na který ze senzorů působila větší odstředivá síla, víte-li, že senzor měřící na planetě $\alpha$ vážil $m_\alpha = 9\,\mathrm{kg}$, zatímco senzor na druhé planetě měl hmotnost $m_\beta = 1\,\mathrm{kg}$. Pro odstředivou sílu na povrchu libovolné planety platí vztah \begin{equation*} F_{\mathrm{o}} = \frac{m v^2}{r}\,, \end{equation*} kde $m$ je hmotnost uvažovaného senzoru, $v$ je obvodová rychlost planety daná její rotací a $r$ je poloměr dané planety.

Petr se doma nudil až do chvíle, než vytáhl ze skříně tátovu krabici s elektrickými součástkami. Po chvíli prohrabování se krabicí našel na jejím dně starý ústřižek z časopisu pro mladé kutily s následujícím problémem: Máme k dispozici dva přepínače, červenou a zelenou žárovku, ideální zdroj konstantního napětí ¹ a ideální vodiče .² Jak se dá sestavit obvod, ve kterém při zapnutí obou přepínačů svítí obě žárovky, při přepnutí libovolného z nich zhasne zelená žárovka a při přepnutí i druhého přepínače nesvítí ani jedna ze žárovek? Ústřižek bohužel neobsahuje řešení a Petr si s ním neví rady. Pomůžete mu?

Agent 007 byl zase jednou vyslán na mimořádně riskantní záchrannou misi. Tentokrát jde ale o hodně – jiný agent britské tajné služby MI6 je vězněn ve zločineckém doupěti a jde mu o život! Agent je pevně připoután k židli na dně obdélníkového bazénu s rozměry $a = 10\,\mathrm{m}$ a $b = 5\,\mathrm{m}$, přičemž jeho obličej je ve výšce přesně $h = 1\,\mathrm{m}$ nade dnem bazénu.

V momentě, kdy se James Bond plížil potichu doupětem a byl od svého kolegy vzdálen pouze $s = 500\,\mathrm{m}$, byl odhalen elektrickým senzorem. Zločinec hlídající uvězněného agenta se tedy rozhodl konat a otočil kohoutem, který do bazénu napouští vodu průtokem $Q = 50\,\mathrm{l\!\cdot\! s^{-1}}$, a v té samé chvíli se vydal na okružní pochůzku doupětem. Tato pochůzka trvá zločinci přesně dobu $t_1 = 2\,\mathrm{min}$, po kterých se vrátí a čas $t_2 = 1\,\mathrm{min}$ zůstane u agenta. Pak odejde na další stejnou pochůzku, zpět k agentovi, a tak dále.

Na to, aby James Bond mohl kolegu osvobodit, musí přijít dostatečně brzy před tím, než se voda dostane na úroveň obličeje jeho kolegy. Rovněž ale nemůže přijít tehdy, kdy je u bazénu zločinec a ani $\tau = 25\,\mathrm{s}$ před příchodem zločince – tolik času totiž zabere vysvobození spoutaného agenta.

1. Spočtěte, kolik času zbývá uvězněnému agentovi, než voda dosáhne na úroveň jeho obličeje.

2. Zjistěte, za jakou nejkratší dobu James Bond dojde k bazénu, pokud se nedokáže plížit rychleji než rychlostí $v = 1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$.

3. Najděte intervaly (rozsahy) časů, ve kterých se může James Bond doplížit k bazénu a kolegu osvobodit.

4. K intervalům času určete příslušné intervaly rychlostí, kterými se může James Bond plížit doupětem, aby byla mise úspěšná.

Poněvadž je zima přede dveřmi, je potřeba se na ni připravit. Kupříkladu tak, že zjistíme, jak rychle taje led různých rozměrů. První část této úlohy sestává z výroby ledových vzorků. Nejdříve si z kartonu vystřihněte a poskládejte tři „nádoby“ ve tvaru krychliček s hranami dlouhými $5\,\mathrm{cm}$, $7{,}5\,\mathrm{cm}$ a $10\,\mathrm{cm}$. Pak si vezměte potravinovou fólii (nebo sáček) a vlepte ji na vnitřní strany papírových forem, naplňte je asi do $9/10$ vodou a nechte je zmrazit. Měli byste tak získat tři krásné ledové kostky.

Kostky posléze vytáhněte z forem, odstraňte z nich fólie a položte je na rovnou plochu (například na tác). Vaší úlohou bude změřit čas, za který kostky zcela roztají. Kolikrát delší bude čas, za který roztají větší kostky v porovnaní s tou nejmenší? Popište, jak se tento poměr liší od

1. poměru délek stran,

2. poměru povrchů,

3. poměru objemů.

Oceníme, když svoje experimentální snažení doplníte fotografiemi.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Když se Tom přestěhoval do Prahy a zařizoval si byt, měl v pokoji koberec i lino. Na koberec si postavil skříň tak, že střed skříně byl vzdálen $1\,\mathrm{m}$ od rozhraní lina a koberce. Jenže se mu již na koberec nevešel stůl, a tak se rozhodl skříň přesunout na lino, a to tak, že na konci je střed skříně od rozhraní koberec-lino stejně daleko jako na začátku. Dále víme, že Tomova skříň je široká $1\,\mathrm{m}$, váží $40\,\mathrm{kg}$ a koeficient smykového tření koberce je $f_{\mathrm{k}}=0{,}5$, lina $f_{\mathrm{l}}=0{,}2$.

1. Jakou silou $F_1$ Tom musí na skříň působit, pokud ji posouvá po koberci?

2. Jakou silou $F_2$ Tom musí působit, pokud skříň je již na linu?

3. Jakou silou $F_{1/2}$ Tom působil, když byla půlka skříně již na linu, ale druhá půlka ještě stále na koberci?

4. Nakreslete graf závislosti síly na vzdálenosti, kterou skříň již urazila.

5. Jakou práci Tom při stěhování skříně vykonal?

Třecí síla se spočte jako $F_{\mathrm{t}} = mgf$. Skříň považujte za homogenní těleso.