Zadání 5. série 9. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Výfuček bloumal uličkami malého perského městečka, když narazil na záhadného muže. Ten mu nabídl odměnu, pokud uhodne, kterou ze čtyř koulí trefí ta jeho. Stoupl si k netradičnímu kulečníkovému stolu a zamířil tágem na svou kouli, která ležela uprostřed. Na stole o rozměrech $9\,\mathrm{m}$ krát $3\,\mathrm{m}$ měl ještě další čtyři koule umístěné na souřadnicích $[3\,\mathrm{m};1\,\mathrm{m}]$, $[6\,\mathrm{m};1\,\mathrm{m}]$, $[3\,\mathrm{m};2\,\mathrm{m}]$, $[6\,\mathrm{m};2\,\mathrm{m}]$ (měřeno od dolního levého rohu; tedy na průsečících přímek, které jsou kolmé ke stranám stolu a vedou první a druhou třetinou). Výfuček si všiml, že koule narazí do jedné z kratších stěn ve vzdálenosti $d=0{,}55\,\mathrm{m}$ od rohu. Pomůžete mu zjistit, kterou kouli kulečníkový chlapík trefí? Pod jakými úhly se odrazí od stěn, do kterých cestou narazí? V jakých vzdálenostech od rohů stolu do stěn narazí?

Úlohu řešte graficky – ve vámi zvoleném měřítku si narýsujte obrázek, v něm vše určete a nezapomeňte přepočítat zpět na rozměry z města. Kulečníkové koule jsou opravdu malé, takže je můžeme nahradit body.

Výfuček se rozhodl za získané peníze něco hezkého koupit, a tak se vydal na tržiště. Jeden kupec mu nabídl desetimetrový pravý létající koberec. Výfuček se však nechtěl nechat ošidit, a proto se rozhodl kupcovo tvrzení otestovat. Bohužel měl jen svinovací metr, koberec byl namotaný na tyči a nebylo možné ho v malém prostoru zakouřeného stanu roztáhnout. Výfuček si tedy změřil, že obvod tyče, na které je koberec namotán, je $o=0{,}3\,\mathrm{m}$ a obvod obvázaného koberce je $O=1{,}7\,\mathrm{m}$. Dále si všiml, že koberec je kolem tyče omotán desetkrát. Pomozte Výfučkovi odhadnout délku koberce a ověřit tak, že kupec říká pravdu.

Výfuček si šel po náročné licitaci sednout do kavárny a přemýšlel, kam by se na svém létajícím koberci vydal. Než mu obsluha přinesla čaj, trochu se nudil, a tak si z kostek cukru stavěl pyramidu. V tom ho napadlo perfektní místo – Cheopsova pyramida v Egyptě! Výfuček však chtěl být zodpovědný turista a o své destinaci si předem něco zjistit. Přemýšlel tak nad tím, jakou nejmenší práci vykonal, když stavěl svůj model pyramidy z kostek cukru, aby to pak mohl porovnat se skutečnou pyramidou.

Vypočítejte minimální Výfučkovu práci, jestliže v nejvyšší řadě pyramidy byla jedna kostka, ve druhé nejvyšší dvě kostky, ve třetí tři atd. Pyramida byla sestavena ze 105 kostek a jedna kostka vážila podle údajů výrobce $5\,\mathrm{g}$ a měla hranu $1\,\mathrm{cm}$. Zpočátku všechny kostky ležely na stole v řadě.

Během náročných výpočtů si Výfuček krátil čas hraním si s propiskou. Uchopil její konec, na němž je kovový hrot, a propisku upustil. Poté, co pero s hmotností $m=2\,\mathrm{g}$ spadlo z výšky $h=10\,\mathrm{cm}$, se kvůli pružině počáteční délky $l=1{,}5\,\mathrm{cm}$ a tuhosti $k=50\,\mathrm{N\!\cdot\! m^{-1}}$ odrazilo do výšky $h'=6\,\mathrm{cm}$. Pokud Výfuček zdvihl ruku trochu výš, k odrazu již nedošlo; propiska se pouze převrátila a spadla.

Vyjádřete maximální výšku $h_{\mathrm{max}}$, ze které Výfuček musí propisku shodit, aby se ještě odrazila do výšky $h'_{\mathrm{max}}$. Víte, že při prodlužování a zkracování pružiny se nevratně přemění na teplo stejné množství energie. Toto množství je totožné při každém odrazu. Pokud se pružina zkrátí na délku $l_{\mathrm{min}}=0{,}5\,\mathrm{cm}$, propiska se zasekne. Výšku $h'_{\mathrm{max}}$ také vyjádřete.

Výfuček byl ze svého nového létajícího koberce celý nadšený. Ještě když si jej pod paží nesl na nějaké klidnější místo, rozmýšlel se, jak se mu s ním asi poletí a jak rychlý koberec bude. Pomozte mu s jeho úvahami.

1. Jakmile se Výfuček rozletí, bude se koberec pohybovat konstantní rychlostí $v_0 =200\,\mathrm{km/h}$. Jakou vzdálenost $x$ pak Výfuček v této fázi letu urazí za čas $t_0 = 30\,\mathrm{min}$? Jakou vzdálenost urazí za obecný čas $t$? Matematicky řečeno, napište předpis funkce Výfučkovy uražené vzdálenosti v závislosti na čase $x(t)$.

2. Již jsme řekli, Výfučkova rychlost je v této fázi konstantní, jeho funkce rychlosti v závislosti na čase je $v(t) = v_0$. Vytvořte graf této funkce (s velkými dlouhými osami) a znázorněte v něm čas $t_0$ jakož i rychlost $v_0$. Jak lze z grafu pomocí geometrie určit, jakou vzdálenost Výfuček uletěl za čas $t_0$?

Výfučka však ještě zajímala akcelerace koberce a jeho další vlastnosti.

1. Jestliže koberec rovnoměrně zrychlí z nuly na sto (kilometrů v hodině) během $2{,}5\,\mathrm{s}$, jaké je jeho zrychlení?

2. Napište předpis funkce rychlosti koberce v čase $v(t)$ a zhotovte její graf. Graficky odvoďte uraženou vzdálenost Výfučka za čas a zkontrolujte, že vše sedí tak, že vzdálenost změříte pro $t=2{,}5\,\mathrm{s}$.

Výfuček konečně došel na vhodné klidné místo a rozprostřel svůj koberec připraven vyrazit. Nastartoval a… koberec mu, jak se lidově říká, chcípl.

1. Jakou vzdálenost při tomto špatném startu urazil, trval-li celých pět sekund a rychlost koberce v čase lze zapsat funkcí \begin{equation*} v = \sqrt{(2{,}5\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}})^2 - (t - 2{,}5\,\mathrm{s})^2\cdot(1\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}})^2}\,\text{?} \end{equation*} Jistě vám pomůže si nakreslit graf této funkce. Třeba tak, že si nejprve vynesete pár jejích bodů. Výsledek uveďte v plné obecnosti, a pak teprve dosaďte za všechny konstanty, které se mohou vyskytnout.

Nakonec se Výfučkovi přece jen povedlo nastartovat a mohl vzlétnout do Egypta. Během letu však poměrně foukalo, a tak se Výfuček nastydl a dostal rýmu. S hrůzou však zjistil, že mu všechny jeho papírové kapesníčky během letu navlhly a velmi snadno se tak protrhávají. Změřte, jak závažný tento efekt je.

Jinými slovy, změřte, jak velká síla je potřebná k protržení kapesníčku v závislosti na tom, na jak velké ploše působí. Naměřené hodnoty vyneste do grafu. Měření proveďte pro suchý i vlhký kapesníček a výsledky porovnejte. Do vašeho řešení nezapomeňte uvést, jakou značku kapesníčků jste při měření použili (aby totiž bylo měření replikovatelné, záleží na tom, kolik má kapesník vrstev atp.).

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Výfuček už byl skoro nad pyramidami, když měl koberec nehodu. A jak už to tak s poruchovými nadpřirozenými předměty bývá, přistál náš Výfuček v době, kdy se slavná pyramida teprve stavěla. Rozhodl se tedy ohromit faraona svými fyzikálními znalostmi a ukázal mu návrh svého dokonalého stavebního stroje.

Na obrázku vidíte Výfučkův náčrtek. Aby přesvědčil faraona, že se mu tento stroj vyplatí postavit, musel nejprve spočítat několik charakteristik:

1. Jakou silou tahá za kvádr o hmotnosti $M=100\,\mathrm{kg}$ každé z lan, na kterých visí?

2. Jakou hmotnost $m$ musí mít pytel zavěšený na konci jednoho z lan?

3. Jak velká je celková síla, kterou lano působí na velké kladky? A jakým směrem míří?

4. Jakou silou musí kvalifikovaný dělník tlačit do lopatky mlýnu ve vzdálenosti $l=5\,\mathrm{m}$, jak těžký musí být kvalifikovaný dělník stojící na mlýnu ve vzdálenosti $l/2$ a jakou silou musí poslední kvalifikovaný dělník tahat za lana přivázaná k mlýnu ve vzdálenosti $l$?

Provaz je od kladky po kvádr dlouhý $d=141{,}42\,\mathrm{m}$ a kvádr je na něj přivázán v hloubce $h=36{,}60\,\mathrm{m}$ pod úrovní horních konců kladek. Celý stroj je takto v rovnováze, všechna přivázaná lana jsou kolmá na mlýn. Všichni dělníci pracují společně a námahu dělí mezi lopatky rovnoměrně. Jak bylo již ve Výfučtení naznačeno: úlohu a hledané číselné hodnoty můžete určit také graficky za pomoci rýsování a přepočtu ve správném poměru.