Zadání 5. série 2. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

\begin{equation*} \square\left(\bigstar \cdot \blacksquare + \bigstar \cdot \square \cdot \checkmark^2 \right) = \frac \bigstar \maltese \\ \end{equation*} Čemu je rovno $\checkmark$? Jaké podmínky platí pro $\square$, $\bigstar$, $\blacksquare$, $\checkmark$ a $\maltese$? Uvažujte reálná čísla.

Pepa a Karel se rozhodli trénovat na maraton a vybrali si k tomu nedaleký běžecký ovál, jehož obvod činí $400\,\mathrm{m}$. Postavili se na start a ve stejnou chvíli se oba rozběhli, ovšem každý na jinou stranu. Pepa běžel rychlostí $6\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$ a Karel rychlostí $4\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-1}}$. Kolikrát za minutu se budou na běžeckém oválu potkávat? Kolikrát se potkají, než první z nich skutečně uběhne vzdálenost maratonské tratě, tedy $42\,\mathrm{km}$?

Při stavbě pyramid v údolí Nilu museli otroci táhnout velké kamenné kvádry s hmotností $M = 1\,000\,\mathrm{kg}$ po nakloněných rovinách se sklonem $30^\circ$. Minimální síla, kterou musel každý1 z deseti robotníků vyvinout při táhnutí nahoru, byla $\mathbf{F_{\mathrm{H}}} = 1\,200\,\mathrm{N}$. Naopak síla, kterou museli otroci kámen držet, aby jim po rovině nesklouzl dolů, byla jenom $\mathbf{F_{\mathrm{D}}} = 900\,\mathrm{N}$. Z poskytnutých údajů zjistěte koeficient smykového tření $f$ mezi kamenem a nakloněnou rovinou.

V laboratoři máme nainstalované speciální potrubí složené ze tří úseků, přičemž průřez každého úseku je o polovinu menší než předcházející. V těchto úsecích máme nainstalované manometry, viz obrázek. Jsou to úzké tenké trubičky připojené kolmo na potrubí určené k měření tlaku v proudící kapalině. Výška, do které kapalina v manometru vystoupá, odpovídá hydrostatickému tlaku v potrubí. Vaší úlohou bude kvalitativně nakreslit a zdůvodnit, jak budou vypadat výšky hladin ve třech manometrech našeho potrubí, když jím bude protékat ideální kapalina rychlostí $\mathbf{v}$. Předpokládejte, že manometry ústí do potrubí ve stejné výšce. Klíčová slova Bernoulliho rovnice, rovnice kontinuity.

K experimentu budete potřebovat nakloněnou rovinu a kuličku ¹, kterou budete spouštět dolů rovinou z různých výšek². Pak budete měřit rychlost kuličky v ústí nakloněné roviny. Jak? Jednoduše: zařídíte, aby kulička co nejplynuleji prošla na vodorovnou rovinu, kde můžeme předpokládat, že její pohyb je rovnoměrný. Pak změříte čas, za který kulička projede nějakou dráhu. Z toho už rychlost určíte snadno.

Měření zopakujte pro různé výšky a naměřené hodnoty zakreslete do grafu závislosti druhé mocniny rychlosti $v^2$ od výšky $h$. Pokud jste měřili správně, vaše závislost by se měla dát proložit přímkou. Pak určete směrnici této přímky $k$.

Tu zjistíte následovně: vyberete si 2 libovolné, dostatečně vzdálené body na přímce se souřadnicemi $\left[ x_1; y_1 \right]$ a $\left[ x_2; y_2 \right]$. Pak $k$ lze vypočítat jako \begin{equation*} k= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \,. \end{equation*}

Pro $k$ navíc platí \begin{equation*} k= \frac{10}{7}g \,. \end{equation*} Pomocí tohoto vztahu určete tíhové zrychlení $g$. Opět nezapomeňte své měření dostatečně popsat. Liší-li se vaše hodnota $g$ vůči tabelované hodnotě $g_{\mathrm{Tab}} = 9{,}81\,\mathrm{m\!\cdot\! s^{-2}}$, popište, co mohlo odchylku způsobit.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Část obvodu se zdrojem nahraďte pomocí Theveninova náhradního obvodu vzhledem ke svorkám $1$, $1'$. Řešením bude výsledné schéma obvodu, které bude obsahovat nový zdroj a jeho hodnotu napětí, vnitřní odpor a jeho hodnotu a připojenou zátěž.