Zadání 1. série 16. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Když se organizátoři Výfuku potřebují dostat z vysokoškolských kolejí, mohou jet jednou ze tří autobusových linek. První autobus odjíždí každých 6 minut, druhý každých 9 minut a třetí jede ze zastávky každých 5 minut. Právě je 15:00 a ze zastávky vyjíždějí všechny tři linky zároveň. Kolikrát v následující hodině (15:01 až 16:00) pojede ze zastávky alespoň jeden autobus a organizátoři se tak budou moct dostat pryč z kolejí? Všechny autobusy jezdí načas.

Lukáš si chce postavit klasický domeček z karet a zajímá ho, na kolik pater mu bude stačit jeden balíček. Patra domečku se číslují odshora dolů. Patro úplně nahoře tedy bude první, spodní bude $n$-té. V $n$-tém patře je vedle sebe vždy $n$ dvojic karet postavených do stříšky. Mezi každými dvěma sousedními stříškami je položena jedna další karta (viz obrázek třípatrového domečku). Kolik pater Lukáš maximálně postaví pomocí jednoho balíčku o 52 kartách?

Když Kačka nedávno sledovala dokument o letounech, nejvíce ji fascinovalo přistávání stíhaček na letadlových lodích. Zajímalo ji, jak může tak obrovská věc bezpečně zastavit na tak malém kousku paluby. Vyhledala si proto podrobnosti o jednom konkrétním přistání. Zjistila, že stíhačka o hmotnosti $m = 15\,\mathrm{t}$ dosedá na palubu rychlostí $v = 240\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. V okamžiku doteku se její záďový hák zachytí o brzdicí lano, které ji bez použití jakýchkoliv jiných brzd rovnoměrně zpomaluje až do úplného zastavení na dráze dlouhé $l = 90\,\mathrm{m}$.

Stejně jako Kačka určete velikost průměrné brzdné síly $F$, kterou lano působí na hák stíhačky během přistávání, a spočítejte také celkovou dobu $t$, za kterou stíhačka od zachycení lana zcela zastaví.

Max se jednou v noci začetl do dokumentů o motorech amerického raketoplánu. Zjistil, že u jednoho z jeho manévrovacích motorů byl přívod paliva do spalovací komory zajištěn pouze vysokým tlakem v nádržích. Aby byl i při vyprazdňování nádrží tlak stálý, nádrže se průběžně plnily heliem. Po celý let se teplota v nádržích neměnila. Každý motor měl palivové nádrže o celkovém objemu $5{,}09\,\mathrm{m^3}$, které byly pomocí helia celou dobu drženy pod tlakem $1{,}7\,\mathrm{MPa}$. Max bohužel nenašel, jak velká byla nádrž na helium, zjistil ale, že měla tvar koule a že každý motor měl svou vlastní nádrž na helium. Ze začátku, když byly palivové nádrže plné, v ní byl tlak $33\,\mathrm{MPa}$. Po vyprázdnění palivových nádrží musel zůstat v nádrži na helium tlak alespoň $3{,}2\,\mathrm{MPa}$. Jaký nejmenší poloměr mohla mít nádrž s héliem?

Viktora zajímalo, jak dlouho by trvalo vypustit všechnu dešťovou vodu z nádrže, která má tvar krychle o výšce $H = 1\,\mathrm{m}$. Nádrž ale zrovna byla plná jen ze $70\,\mathrm{\%}$ a jemu se nechtělo čekat, až zbytek naprší. Viktor tedy bez čekání otevřel ventil ve spodní části nádrže. Zapomněl však otevřít vzduchotěsné víko na nádrži, a tak vytékáním vody začal v nádrži vznikat podtlak. Po chvíli zjistil, že voda přestala z nádrže vytékat. Pomozte mu spočítat, v jaké výšce $h_{\mathrm{e}}$ se hladina ustálila.

1. Vyjádřete původní výšku hladiny $h_0$ v nádrži a určete, jak závisí objem části nádrže naplněné vzduchem $V_{\mathrm{vz}}$ na výšce hladiny vody v nádrži $h$.

2. Za předpokladu, že je děj probíhající se vzduchem při vypouštění nádrže izotermický, určete závislost tlaku vzduchu v nádobě $p_{\mathrm{vz}}$ na výšce hladiny vody.

3. Napište rovnici pro tlaky, která platí v situaci, kdy se hladina v nádobě ustálí a voda již dále nevytéká.

4. Určete výšku $h_{\mathrm{e}}$, na které se hladina vody v nádrži ustálila.

Potřebné konstanty si dohledejte.

Dan si házel s míčkem o podlahu. Všiml si, že doba mezi dvěma po sobě jdoucími dopady se s každým dalším odrazem zkracuje. To Dana zaujalo a došlo mu, že za to může nedokonalá pružnost míčku.

Změřte časové intervaly mezi jednotlivými dopady a pomocí nich určete koeficient restituce (poměr velikosti rychlosti míčku po srážce a před srážkou).

Pokud chcete měřit časové intervaly přesně, můžete k tomu použít například aplikaci Phyphox, která je zdarma ke stažení na Google Play nebo na App Store. Čas mezi odrazy v ní můžete měřit pomocí funkce (Ne)pružná srážka, kterou najdete v sekci Mechanika.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Vojta dostal jako dárek od Áji poukaz na let horkovzdušným balónem. Místo obdivování krajiny ale let využil na provádění svých úkolů do fyziky. Vojta na spod horkovzdušného balónu tedy pověsil zvon a měřil, jakou hlasitostí ho může slyšet. Vojta vyklánějící se z koše balónu je ve vzdálenosti $d = 2\,\mathrm{m}$ od zvonícího zvonu a zaznamenává hladinu intenzity zvuku $L_1 = 110\,\mathrm{dB}$. Jak vysoko může balón vystoupat, aby Ája, která stojí na zemi přímo pod balónem, slyšela zvon s hladinou intenzity zvuku alespoň $L_2 = 40\,\mathrm{dB}$?

1. Určete, jakou akustickou intenzitu $I_1$ vnímá Vojta a jaká akustická intenzita $I_2$ odpovídá stanovené hranici $L_2 = 40\,\mathrm{dB}$.

2. Se znalostí intenzit $I_1$ a $I_2$ vypočítejte maximální výšku balónu nad zemí $h_{\mathrm{max}}$, do které může vystoupat.

Předpokládejte, že se zvuková energie šíří okolo zvonu rovnoměrně a že balón je dostatečně nízko a atmosféra zde má stejné vlastnosti jako na zemském povrchu.

Jednoho dne se zvon připevněný na balónu rozbil a Vojta se rozhodl, že ho nahradí modernější a pro lidi pod ním i bezpečnější variantou – reproduktorem ve tvaru koule s účinností $\eta = 2\,\mathrm{\%}$.

1. Spočítejte, jaký příkon by musel Vojta dodávat reproduktoru, aby plně nahradil původní zvon – tj. vytvářel takový akustický výkon, že ve stejné výšce $h_{\mathrm{max}}$ nad zemí bude zvon ze země slyšitelný s hladinou intenzity zvuku $L_2$.