Zadání 2. série 16. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Matěj a Mája se rozhodli, že spolu půjdou lézt na lezeckou stěnu. Protože Mája chodí na lezecké stěny trénovat častěji, tak stěnu o výšce $h = 18\,\mathrm{m}$ vylezla za pouhých $t_{\mathrm{Mája}}= 16\,\mathrm{s}$. Matěj ale tak zkušený není, lezl proto žalostné $t_{\mathrm{Matěj}}= 4\,\mathrm{min}$. Pokud budeme uvažovat, že Matěj a Mája mají stejnou hmotnost a oba lezli nejkratší možnou cestou přímo nahoru, kdo z nich vykonal při lezení větší práci?

Když Natka jela z Výfučího setkání domů, nestíhala navazující vlak. Průvodčí jí řekl, že navazující vlak může čekat maximálně konkrétní čas $t$, jinak odjede načas. Natka začala přemýšlet, jak by matematicky mohl průvodčí k tomuto času $t$ dojít. Nejrozumnější jí přišlo, že chce minimalizovat součet zpoždění všech cestujících.

V Natčině navazujícím spoji sedělo $N = 180$ cestujících a z opožděného vlaku do něj potřebuje přestoupit $n = 24$ lidí včetně Natky. Pokud navazující vlak ujede, přestupující cestující budou muset počkat na další spoj s pravidelným odjezdem o $T = 85\,\mathrm{min}$ později než původní navazující spoj.

Určete nejdelší čas $t$, pro který je součet zpoždění všech cestujících menší než v případě, že by vlak nepočkal.

Víťa našel doma ocelovou kostku vyrobenou z milimetrového plechu. Když ji hodil do vody, překvapilo ho, že přestože je vyrobená z plechu, plave. Rozhodl se proto spočítat, jak malá může krychle být, aby se na hladině ještě udržela.

Jak nejméně velkou stranu by musela mít dutá krychle (s nulovou výplňovou hustotou), aby plavala na hladině vody, pokud je vyrobena z materiálu s plošnou hustotou $\sigma = 8{,}0\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-2}}$? Jakou by musela mít krychle velikost, aby byla alespoň polovina nad vodní hladinou?

Potřebné veličiny si dohledejte.

Adam pracoval na školním projektu a přemýšlel, co by se stalo, pokud by superpočítači, na kterém provádí výpočty, vypadla elektřina a bylo potřeba spustit dieselové generátory.

Superpočítač Barbora v Ostravě při svém běžném zatížení $\varepsilon = 20\,\mathrm{\%}$ potřebuje příkon $P = 97\,\mathrm{kW}$. Náhradní dieselové generátory dosáhnou tohoto výkonu s účinností $\eta = 35\,\mathrm{\%}$, přičemž nafta, kterou spalují, má výhřevnost $H = 43\,\mathrm{MJ\!\cdot\! kg^{-1}}$ a hustotu $\rho = 830\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$. Pokud bychom tímto generátorem superpočítač poháněli, jakou bude mít stroj spotřebu v jednotkách litrů nafty na $\mathrm{GFlop}$ ($10^9$ operací), pokud je výkon superpočítače při maximálním zatížení $849\,\mathrm{TFlop\!\cdot\! s^{-1}}$, tedy $849\cdot 10^{12}$ operací za sekundu?

Organizátoři na letní tábor Výfuku koupili plný sud s malinovkou ve tvaru válce o hmotnosti $m = 30\,\mathrm{kg}$ a poloměru $r = 15\,\mathrm{cm}$. Sud byl pro ně ale příliš těžký, takže ho museli kutálet po zemi. Při vstupu do ubytovacího zařízení však museli sud překutálet přes schod o výšce $h = 6\,\mathrm{cm}$.

1. Jak daleko bude horizontálně hrana schodu od těžiště sudu ve chvíli, kdy sud na schod narazí?

2. Jak velký bude moment síly, kterým bude tíhová síla působit kolem hrany schodu? Uvažujte, že sud na schodu neprokluzuje.

3. V jakém místě mají organizátoři na sud působit, aby jim stačilo vyvinout co nejmenší sílu? Jak velká tato síla bude?

Výfuček si jako vždy připravoval teplý ranní čaj. Při ohřívání vody ho napadlo, zda maximálně využívá výkon konvice, její účinnost se totiž určitě bude lišit v závislosti na ohřívaném množství vody. Rychle si uvědomil, že účinnost rychlovarné konvice dokáže určit ze známého času ohřevu a elektrického příkonu. Účinnost konvice bereme v tomto případě jako poměr výkonu využitého pouze na ohřátí vody vůči celkovému elektrickému příkonu konvice.

Vyzkoušejte si to stejně jako Výfuček a určete účinnost ohřevu pro alespoň pět různých objemů vody v konvici. Objemy zvolte tak, aby byly co nejrovnoměrněji rozprostřené v celém objemu konvice – ideálně od jejího povoleného minima až po povolené maximum. Změní se nějak vypočítaná účinnost v závislosti na množství vody?

Nápověda: Údaj o elektrickém příkonu najdete na výrobním štítku zespodu konvice nebo na jejím podstavci. Užitečný výkon pak vypočítejte z tepla potřebného k ohřátí daného množství vody a celkového času ohřevu.

S řešením této úlohy ti může pomoct krátký naučný text – tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt pod odkazem níže.

Víťa si jednou zase hrál s obvody a napadlo ho, že tentokrát by mohl zkusit sestavit i nějaké složitější.

Rozhodl se, že si tentokrát zapojí obvod jako na obrázku 1. Následně chtěl změřit napětí na jednotlivých rezistorech, ale zjistil, že nemůže najít voltmetr.

1. Pomozte Víťovi zjistit velikost i směr proudu procházejícího jednotlivými větvemi a z toho vypočítat napětí na jednotlivých rezistorech. Napětí jednotlivých zdrojů jsou $U_1 = 12\,\mathrm{V}$ a $U_2 = 6\,\mathrm{V}$ a odpor každého rezistoru je $R_0 = 10\,\mathrm{\Omega}$. Využijte Kirchhoffovy zákony.

2. Protože mu ještě nějaké rezistory zbyly, rozhodl se postavit soustavu rezistorů (viz obrázek 2). Protože ale ztratil i svůj ohmmetr, musel si celkový odpor tohoto zapojení také vypočítat.

   

   Stejně jako Víťa vypočítejte celkový odpor zapojení rezistorů na obrázku 2. Výsledek uveďte jako násobek odporu $R$. Můžete použít libovolný způsob počítání s rezistory.