5. série 11. ročníku

Anička, Bětka, Cilka, David, Eva, Fanda, Gita, Hanka, Ivan a Jarda seděli v kruhu (v tomto pořadí) a hráli hru WEGO. Ta spočívá v tom, že hráči po řadě říkají čísla a pokaždé, když by mělo zaznít číslo 7, jeho násobek nebo číslo, které ve svém desítkovém zápisu obsahuje číslici 7, daná osoba řekne „WEGO“ a mění se směr hry. Tedy například pokud by Bětka řekla 6, řekne Cilka „WEGO“ a Bětka pokračuje číslem 8. Pokud s jedničkou začínala Anička a po ní hraje Bětka, jaké první číslo řekne Hanka?

Kačka měla řadu náhodných trojciferných čísel a protože neměla co dělat, začala je blíže zkoumat. Všimla si, že hodně těchto čísel je zajímavých. Zajímavé číslo je pro Kačku takové, které má právě dvě cifry stejné. Kolik procent takových čísel bude? Jak se situace změní, když bude Kačka sledovat zajímavost poslední trojice pěticiferného čísla?

Bětka se v Praze rozhodla, že zajede navštívit Anežku, která se nacházela v Brně. Tato města jsou vzdálená $215 \mathrm{km}$. Bětčina průměrná rychlost se konstantně zrychlovala po dobu $30 \mathrm{min}$, poté se ustálila na $120 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Anežka ale hořela nedočkavostí, a tak se jí přesně $20 \mathrm{min}$ poté, co Bětka vyjela z Prahy, vydala naproti rychlostí $90 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Chtějí se potkat tak, aby na místě setkání měly obě nulovou rychlost a dorazily zároveň. Bětka proto začala brzdit se zrychlením $-7\,200\,\mathrm{km\cdot h^{-2}}$ v momentě, kdy byly od sebe vzdáleny $2 \mathrm{km}$ a Anežka na základě toho upravila svoji jízdu tak, aby na sebe nemusely čekat. Určete, kde a za jak dlouho se obě organizátorky potkají.

Jak rychle by se musela otáčet Země, abychom z ní odletěli? Jinými slovy, jaká by musela být rychlost její rotace, aby odstředivé síly překonaly gravitační sílu na jejím povrchu? Počítejte, že Země je dokonalou homogenní koulí, na jejímž rovníku stojíme a která rotuje podle osy pólů a jejíž gravitační zrychlení je neměnné. Poloměr a hmotnost Země je pak také konstantní – počítejte s hodnotami $r = 6\,371\,\mathrm{km}$ a $M=5{,}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$. Výsledek vyjádřete pomocí hmotnosti Země (tj. neodkazujte se pouze na známou hodnotu gravitačního zrychlení) a následně rychlost vyjádřete jako rychlost Země na rovníku (např. v $\mathrm{km\cdot h^{-1}}$), ale i v době trvání jednoho dne.

Lubor jednoho zimního večera odpočíval u krbu a sledoval, jak v něm hoří uhelné brikety. Zamyslel se při tom, jakým způsobem se vlastně těží uhlí a jak asi bylo hluboko pod zemí. Představte si tedy hlubinný důl s hloubkou $h$ metrů, ve kterém se těží uhlí. Černé uhlí má průměrnou výhřevnost $25 \mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$.

1. Spočítejte, jaká by byla teoreticky maximální hloubka dolu, aby se vyplatilo uhlí těžit jako zdroj energie (tj. aby vytěžená energie byla větší než energie spotřebovaná na těžbu). Uhlí jsme schopni dopravovat z dolu s $10\%$ účinností a na vytěžení $1 \mathrm{kg}$ paliva spotřebujeme energii $500 \mathrm{kJ}$.
   
   
2. Doly však většinou bývají zatopené spodní vodou a tuto vodu je nutné odčerpávat, aby mohla probíhat těžba. Určete, jak se změní maximální hloubka dolu $h$, jestliže budeme uvažovat, že na každý vytěžený kilogram uhlí je potřeba odčerpat 10 kilogramů vody a účinnost čerpání je $5 \mathrm{\%}$.
   Zkuste porovnat své výsledky s reálnou hloubkou některých dolů a zamyslete se, z jakých důvodů se tyto hodnoty liší.

Změřte co nejpřesněji měrnou tepelnou kapacitu brambor. Pokus několikrát zopakujte a zkuste odhadnout nejistotu svého měření. Postup měření necháme čistě na vás, nezapomeňte ho však detailně popsat a uvést všechny potřebné okolnosti, jako například varný typ brambor.

Výfuček hrál na klavír a jelikož toho moc neuměl, hrál stále dokola pouze dva intervaly – první tvořily tóny C a D, druhý C a E. Jeden z intervalů mu ale připadal konsonantnější a rozhodl se to ověřit. Který z nich to bude? Zkuste jej nejprve odhadnout a až poté dokázat/popřít. Předpokládejte, že je klavír čistě laděný na C.

Výfučkovi se interval zalíbil a rozhodl se z něj udělat co možná nejkonsonantnější akord. Jaký tón Výfuček přidal? Na jaké vyšší harmonické frekvenci budou všechny tři tóny akordu splývat? Akord předpokládejte v rámci jedné oktávy (tj. od C do H včetně). Tón C má frekvenci $f_0 = 528 \mathrm{Hz}$.

Bonus: Výfučkovi však dělalo problém na klavíru správný tón najít a rozzlobeně třískl do klavíru na všechny tři noty naráz tak, že se mu konečně povedlo zahrát správný akord. Tóny vyzněly tak silně, až to vylekalo kočku spící $d = 30 \mathrm{m}$ od klavíru. Kolik decibelů kočka slyšela, jestliže struny jedné klávesy mají výkon přibližně $P = 20 \mathrm{W}$?