1. série 9. ročníku

Jindra si při každé partii šachu dobře uvědomuje, jakou moc má královna a jak často ji jeho protivníci přehlížejí a podceňují. Nalezněte proto všechny pozice na šachovnici, na kterých má královna největší moc – tu uvažujme jako procento všech políček, která ohrožuje, tj. na která může královna jedním tahem vstoupit. Přítomnost ostatních figurek zanedbejte.

Organizátoři Výfuku si o prázdninách přivydělávají jako průvodci na hradě, kde jsou 3 různě dlouhé prohlídkové trasy a každou provází jiný průvodce. Julča má trasu dlouhou 30 minut, Marťa 40 minut a Kája 45 minut. Ráno začínají všechny tři provázet v 9 hodin u brány. V kolik hodin se všechny opět potkají u brány, jestliže návštěvníky provázejí nepřetržitě celý den?

Adama zajímalo, s jakým zrychlením se rozjíždí metro, a proto, když stálo v klidu ve stanici, vběhl dovnitř a položil na jeden konec vagónu kuličku. Jakmile se souprava začala rozjíždět, začal měřit čas a zjistil, že po čase $t$ kulička narazila do protějšího konce vagónu. Zde už zůstala, zatímco souprava zrychlovala nadále. Doma zjistil, že jeden vagón je dlouhý $s$. Zjistěte jako Adam, s jakým zrychlením se metro rozjíždí a jakou rychlost mělo v okamžiku nárazu kuličky.

Poloměr kuličky neuvažujte a úlohu spočítejte jak obecně, tak pro hodnoty $t=5 \mathrm{s}$ a $s=18 \mathrm{m}$.

Soňa našla starou krabici a v ní troje brýle. První měly kruhové čočky o poloměru $r=2{,}5 \mathrm{cm}$ a optické mohutnosti $\varphi _1=10 \mathrm{D}$ (dioptrií)¹⁾ Čočky druhých brýlí byly tvaru čtverce o straně $a=5 \mathrm{cm}$ a jejich optická mohutnost $\varphi _2=6{,}25 \mathrm{D}$. Třetí brýle měly čočky ve tvaru rovnostranného trojúhelníka o straně $b=5 \mathrm{cm}$ a optickou mohutnost $\varphi _3=20 \mathrm{D}$. Soňa pak šla s těmito brýlemi ven na polední slunce pozorovat mravence. Kterými brýlemi si při vzdálenosti $h=10 \mathrm{cm}$ mravence zvětší, ale neupeče jej? Kterými brýlemi dosáhne největšího výkonu ohřevu, když si pak bude chtít rozdělat oheň na opékání špekáčků (při rozdělávání ohně může Soňa brýle umístit do libovolné vzdálenosti)?

Před dávnými časy žil šikovný obchodník Jack. Na trhu se mu podařilo získat kouzelné fazole, které si večer zasadil za domem. Ráno se nestačil divit; ze země trčel mohutný fazolový stonek, a jelikož byl Jack zvídavý, začal po něm šplhat. Na vrcholu stonku ho čekalo překvapení; ocitl se na obřím mraku, na kterém nejenže mohl stát, ale tento mrak dokonce nesl obří statek. Jack se usadil a začal přemýšlet nad fyzikou skrytou za těmito jevy. Pomůžete mu?

1. Zjistěte, jak vysoko se Jack vyšplhal, pokud vyrazil rychlostí $v = 0{,}25 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a svého cíle dosáhl po deseti hodinách.
2. Jackovi nešlo do hlavy, že by mohl na mraku stát, protože věděl, že shluky ve vzduchu se vznášejících kapiček nemohou unést nic většího než je samotné. „Třeba je to nějaký balon,“ pomyslel si a začal počítat. Jaký plyn by za normálního tlaku takový mrak o objemu jedné setiny $\mathrm{km^3}$ musel obsahovat, pokud by měl unést $10\;000 \mathrm{t}$ těžký obří statek?
3. Po úvahách se Jack vydal do statku, kde našel slepici, která snáší zlatá vejce, ale přitom si vesele pobíhá po dvorku bez známek přidané tíhy ve zlatě. Zjistěte, kolikrát těžší by byla slepice nesoucí zlaté vejce než obyčejná slípka vážící $m\_S = 2{,}5 \mathrm{kg}$. Údaje jako hmotnost či objem vejce si dohledejte a nezapomeňte v řešení uvést zdroj. Předpokládejte, že slepice snáší jedno zlaté vejce denně, které zezlátne až při snesení předešlého vejce.

Plastelína má velmi široké využití – od vděčné hračky pro děti přes šikovný stojan na tužky až po perfektní improvizované těsnění. Jednou z mnoha věcí, které z ní lze vyrobit, jsou lodičky.

Z jednoho válečku²⁾ plastelíny vytvořte loďku, která unese co nejtěžší náklad (musí přitom stále plavat). Porovnejte různé modely a zašlete nám jejich fotografie. Který unese nejvíc a proč? Změřte přesně nosnost a hloubku ponoru. Tři nejlepší a nejoriginálnější konstruktéry sladce odměníme.

Na největším světovém urychlovači, LHC, o obvodu $27 \mathrm{km}$ mají letící protony energii až $7 \mathrm{TeV}$.

1. Tyto protony se v LHC pohybují až $99{,}95 \mathrm{\%}$ rychlosti světla. Kolikrát za sekundu jeden takový proton oběhne celý obvod urychlovače?
2. Částice zde dosahují energie, která bývá srovnávána s energií letícího komára. Ověřte tuto paralelu a výpočtem odhadněte kinetickou energii komára v elektronvoltech. Potřebné údaje si dohledejte a nezapomeňte uvést zdroje.
3. Jakou de Brogliovu vlnovou délku mají protony v urychlovači a jakou náš komár? De Brogliova vlnová délka je něco jako vzdálenost, která udává, jak blízko se musíme na daný předmět dívat, aby se přestal chovat tak, jak očekáváme, tedy začala platit pravidla kvantové fyziky. Měli bychom tak použít kvantovou fyziku na fyzikální popis srážky dvou protonů? A srážky dvou komárů? Proč?

Poznámka: Pro hybnost protonu použijte vzorec plynoucí z relativity $E^2=p^2c^2+m^2c^4 .$