3. série 14. ročníku

Když se rychle točíte na kolotoči a ten se pod vámi prudce zastaví, cítíte, jak pokračujete dál, a nedržíte-li se dost pevně, můžete z něj snadno spadnout.

Pojďme se podívat na trochu větší kolotoč – na Zemi. Kdyby se pod vámi najednou zastavila Země (přestala se otáčet kolem své osy), měli byste dostatečnou rychlost na to, abyste z ní odletěli?

Viktor si velice oblíbil jednu ze svých kytek, protože velmi dobře roste. Každý její nový list je o $20 \mathrm{\%}$ delší než ten předchozí. Pokud má současný poslední list délku $25 \mathrm{cm}$, kolik listů ještě musí vyrůst, aby ten největší měl délku alespoň půl metru? Za předpokladu, že všechny listy mají stejný tvar, kolikrát větší povrch bude mít tento největší list oproti tomu $25 \mathrm{cm}$ dlouhému?

V roce 2875 nejbohatší třída společnosti žije na oběžné dráze Země ve vesmírné stanici, která má tvar dokonalého tenkostěnného válce o vnitřním poloměru $5{,} \mathrm{km}$. Stanice svou rotací kolem osy válce generuje přitažlivost (tzv. „umělou gravitaci“) $1{,}0g$. Mezi oblíbenou zábavu vyšší třídy patří například automobilové závody. Během jízdy proti směru otáčení vesmírné stanice si však řidiči všímají, že se cítí trochu lehčí. Proč tomu tak je? Jakou rychlostí by musel závodník jet, aby se cítil lehčí přesně o polovinu?

Výfuček ukotvil svou malou jachtu na širém moři, aby se mohl v klidu opalovat na přídi své lodě. Ihned po zakotvení však zjistil, že loď se výrazně houpe. Vcelku rychle se mu podařilo naměřit, jak se loď na vlnách pohupuje s frekvencí $f = 0{,}2 \mathrm{Hz}$, ze které se mu začalo dělat špatně. Napadlo ho ale, že může vyplout ve směru šíření vln, aby frekvenci houpání snížil, a tím uklidnil svůj žaludek. Rozhodl se tak učinit a vyrazil s lodí rychlostí $v = 15 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ po směru šíření vln. Jestliže vrcholy vln putují po moři rychlostí $c = 20 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, na jakou frekvenci se houpání Výfučkovy jachty snížilo?

Aleš sice rád chodí po horách, ale to je často spojené s nošením těžkého batohu, což až tak v oblibě nemá. Napadlo ho však, že by při další cestě mohl zkusit na batoh připevnit balón naplněný vodíkem, který by mu mohl tuto nepříjemnost pomoct vyřešit. Protože nerad dělá unáhlená rozhodnutí, rozhodl se problém nejprve důkladně propočítat. Předpokládejte, že při chůzi Aleš vyvíjí konstantní výkon $P_0 = 70 \mathrm{W}$, váží $m = 70 \mathrm{kg}$ a bez batohu chodí po rovině rychlostí $v_0 = 4{,}5 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$.

1. Aleš si uvědomil, že sílu, kterou je třeba při chůzi překonávat, lze poměrně dobře modelovat jako obyčejnou třecí sílu s neznámým koeficientem smykového tření $f$. Jakou rychlostí se bude Aleš pohybovat, pokud ponese po rovině batoh o hmotnosti $m\_B = 10 \mathrm{kg}$?
2. Předpokládejte nyní, že si Aleš na tento batoh připevní kulový balón velký tak, aby jeho vztlaková síla vyvážila tíhu batohu. (Hmotnost látky, ze které je balón vyroben, a vodíku, kterým je naplněn, je zanedbatelná.) Pro jaký rozsah rychlostí bude výhodnější (tj. bude vyžadovat menší výkon) chodit po rovině s balónem než bez něj?
3. Pokud si chce Aleš zachovat svůj výkon při chůzi $P_0$, půjde po rovině rychleji s balónem, nebo bez něj? Uvažujte, že na balón působí Newtonův odpor, který je výrazně vyšší než odpor vzduchu působící na Aleše.

Nápověda: Můžeme prozradit, že k úloze je potřeba si najít hustotu vzduchu a Newtonův odporový koeficient balónu (koule). Nezapomeňte citovat použité zdroje!

Výfuček při večerní procházce pozoroval svůj stín. Všiml si, že se délka stínu mění podle úhlu, pod jakým na něj dopadá světlo z lampy. Hned si také rozmyslel, jakým způsobem délka stínu závisí na úhlu, pod nímž lampa svítí vůči zemské rovině.

Změřte závislost délky stínu předmětu na úhlu, pod kterým na něj svítíte. Stejně jako Výfuček také nalezněte funkci, která ji popisuje, a zdůvodněte, proč ji takto popisuje (například vhodným nákresem). Naměřené hodnoty následně vyneste do grafu a zkuste je danou funkcí proložit.

Výfuček si chtěl vyzkoušet potápění v moři. Celý nadšený se pustil do připravování výstroje. Rád by si ale svůj ponor pořádně naplánoval a propočítal, aby nedošlo k problémům a on se mohl zcela uvolnit při sledování podmořského života.

1. Uvědomil si, že kvůli místu, ve kterém se chce potápět, stráví téměř celý svůj ponor v konstantní hloubce $h = 15 \mathrm{m}$. Na ponor má Výfuček k dispozici jednu 12l láhev naplněnou vzduchem o počátečním tlaku $p\_p = 190 \mathrm{bar}$. Dále si také změřil, že jeho spotřeba vzduchu na hladině při lehké fyzické námaze je $Q = 30 \mathrm{l\cdot min^{-1}}$. Pomozte Výfučkovi spočítat, kolik času před zahájením výstupu může pod hladinou strávit, pokud si na bezpečný výstup chce v lahvi nechat tlak $p\_r = 70 \mathrm{bar}$.
2. Další věcí, na kterou musí Výfuček před ponorem myslet, je závaží, konkrétně jak těžké bude potřebovat. Výfuček si vzpomněl, že když se naposledy potápěl ve svém oblíbeném sladkovodním jezeře s hustotou vody $\rho _1 = 997 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, stačilo mu pro správné vyvážení mít na opasku $m\_o = 3{,} \mathrm{kg}$ olova. Jelikož se Výfuček tentokrát chystá potápět ve slané vodě s hustotou $\rho _2 = 1 \mathrm{025 kg\cdot m^{-3}}$, bude tato hmotnost odlišná. Určete, kolik $\mathrm{kg}$ závaží bude muset na opasek přidat nebo kolik bude muset z opasku odebrat, aby byl vyvážený ve slané vodě. Uvažujte, že Výfuček váží $m\_v = 40{,} \mathrm{kg}$. Hustota olova činí přibližně $\rho \_o = 11 \mathrm{300 kg\cdot m^{-3}}$.