5. série 9. ročníku

Výfuček bloumal uličkami malého perského městečka, když narazil na záhadného muže. Ten mu nabídl odměnu, pokud uhodne, kterou ze čtyř koulí trefí ta jeho. Stoupl si k netradičnímu kulečníkovému stolu a zamířil tágem na svou kouli, která ležela uprostřed. Na stole o rozměrech $9 \mathrm{m}$ krát $3 \mathrm{m}$ měl ještě další čtyři koule umístěné na souřadnicích $[3 \mathrm{m};1 \mathrm{m}]$, $[6 \mathrm{m};1 \mathrm{m}]$, $[3 \mathrm{m};2 \mathrm{m}]$, $[6 \mathrm{m};2 \mathrm{m}]$ (měřeno od dolního levého rohu; tedy na průsečících přímek, které jsou kolmé ke stranám stolu a vedou první a druhou třetinou). Výfuček si všiml, že koule narazí do jedné z kratších stěn ve vzdálenosti $d=0{,}55 \mathrm{m}$ od rohu. Pomůžete mu zjistit, kterou kouli kulečníkový chlapík trefí? Pod jakými úhly se odrazí od stěn, do kterých cestou narazí? V jakých vzdálenostech od rohů stolu do stěn narazí?

Úlohu řešte graficky – ve vámi zvoleném měřítku si narýsujte obrázek, v něm vše určete a nezapomeňte přepočítat zpět na rozměry z města. Kulečníkové koule jsou opravdu malé, takže je můžeme nahradit body.

Výfuček se rozhodl za získané peníze něco hezkého koupit, a tak se vydal na tržiště. Jeden kupec mu nabídl desetimetrový pravý létající koberec. Výfuček se však nechtěl nechat ošidit, a proto se rozhodl kupcovo tvrzení otestovat. Bohužel měl jen svinovací metr, koberec byl namotaný na tyči a nebylo možné ho v malém prostoru zakouřeného stanu roztáhnout. Výfuček si tedy změřil, že obvod tyče, na které je koberec namotán, je $o=0,3 \mathrm{m}$ a obvod obvázaného koberce je $O=1,7 \mathrm{m}$. Dále si všiml, že koberec je kolem tyče omotán desetkrát. Pomozte Výfučkovi odhadnout délku koberce a ověřit tak, že kupec říká pravdu.

Výfuček si šel po náročné licitaci sednout do kavárny a přemýšlel, kam by se na svém létajícím koberci vydal. Než mu obsluha přinesla čaj, trochu se nudil, a tak si z kostek cukru stavěl pyramidu. V tom ho napadlo perfektní místo – Cheopsova pyramida v Egyptě! Výfuček však chtěl být zodpovědný turista a o své destinaci si předem něco zjistit. Přemýšlel tak nad tím, jakou nejmenší práci vykonal, když stavěl svůj model pyramidy z kostek cukru, aby to pak mohl porovnat se skutečnou pyramidou.

Vypočítejte minimální Výfučkovu práci, jestliže v nejvyšší řadě pyramidy byla jedna kostka, ve druhé nejvyšší dvě kostky, ve třetí tři atd. Pyramida byla sestavena ze 105 kostek a jedna kostka vážila podle údajů výrobce $5 \mathrm{g}$ a měla hranu $1 \mathrm{cm}$. Zpočátku všechny kostky ležely na stole v řadě.

Během náročných výpočtů si Výfuček krátil čas hraním si s propiskou. Uchopil její konec, na němž je kovový hrot, a propisku upustil. Poté, co pero s hmotností $m=2 \mathrm{g}$ spadlo z výšky $h=10 \mathrm{cm}$, se kvůli pružině počáteční délky $l=1{,}5 \mathrm{cm}$ a tuhosti $k=50 \mathrm{N\cdot m^{-1}}$ odrazilo do výšky $h'=6 \mathrm{cm}$. Pokud Výfuček zdvihl ruku trochu výš, k odrazu již nedošlo; propiska se pouze převrátila a spadla.

Vyjádřete maximální výšku $h\_{max}$, ze které Výfuček musí propisku shodit, aby se ještě odrazila do výšky $h'\_{max}$. Víte, že při prodlužování a zkracování pružiny se nevratně přemění na teplo stejné množství energie. Toto množství je totožné při každém odrazu. Pokud se pružina zkrátí na délku $l\_{min}=0{,}5 \mathrm{cm}$, propiska se zasekne. Výšku $h'\_{max}$ také vyjádřete.

Výfuček byl ze svého nového létajícího koberce celý nadšený. Ještě když si jej pod paží nesl na nějaké klidnější místo, rozmýšlel se, jak se mu s ním asi poletí a jak rychlý koberec bude. Pomozte mu s jeho úvahami.

1. Jakmile se Výfuček rozletí, bude se koberec pohybovat konstantní rychlostí $v_0 =200 \mathrm{km/h}$. Jakou vzdálenost $x$ pak Výfuček v této fázi letu urazí za čas $t_0 = 30 \mathrm{min}$? Jakou vzdálenost urazí za obecný čas $t$? Matematicky řečeno, napište předpis funkce Výfučkovy uražené vzdálenosti v závislosti na čase $x(t)$.
2. Již jsme řekli, Výfučkova rychlost je v této fázi konstantní, jeho funkce rychlosti v závislosti na čase je $v(t) = v_0$. Vytvořte graf této funkce (s velkými dlouhými osami) a znázorněte v něm čas $t_0$ jakož i rychlost $v_0$. Jak lze z grafu pomocí geometrie určit, jakou vzdálenost Výfuček uletěl za čas $t_0$?
3. Výfučka však ještě zajímala akcelerace koberce a jeho další vlastnosti. Jestliže koberec rovnoměrně zrychlí z nuly na sto (kilometrů v hodině) za $2,\!5 \mathrm{s}$, jaké je jeho zrychlení?
4. Napište předpis funkce rychlosti koberce v čase $v(t)$ a zhotovte její graf. Graficky odvoďte uraženou vzdálenost Výfučka za čas a zkontrolujte, že vše sedí tak, že vzdálenost změříte pro $t=2,\!5 \mathrm{s}$.
5. Výfuček konečně došel na vhodné klidné místo a rozprostřel svůj koberec připraven vyrazit. Nastartoval a… koberec mu, jak se lidově říká, chcípl. Jakou vzdálenost při tomto špatném startu urazil, trval-li celých pět sekund a rychlost koberce v čase lze zapsat funkcí

\[\begin{equation*} v = \sqrt {(2,\!5 \mathrm{m\cdot s^{-1}})^2 - (t - 2,\!5 \mathrm{s})^2\cdot (1 \mathrm{m\cdot s^{-2}})^2} \text {?} \end {equation*}\] Jistě vám pomůže si nakreslit graf této funkce. Třeba tak, že si nejprve vynesete pár jejích bodů. Výsledek uveďte v plné obecnosti, a pak teprve dosaďte za všechny konstanty, které se mohou vyskytnout.

Nakonec se Výfučkovi přece jen povedlo nastartovat a mohl vzlétnout do Egypta. Během letu však poměrně foukalo, a tak se Výfuček nastydl a dostal rýmu. S hrůzou však zjistil, že mu všechny jeho papírové kapesníčky během letu navlhly a velmi snadno se tak protrhávají. Změřte, jak závažný tento efekt je.

Jinými slovy, změřte, jak velká síla je potřebná k protržení kapesníčku v závislosti na tom, na jak velké ploše působí. Naměřené hodnoty vyneste do grafu. Měření proveďte pro suchý i vlhký kapesníček a výsledky porovnejte. Do vašeho řešení nezapomeňte uvést, jakou značku kapesníčků jste při měření použili (aby totiž bylo měření replikovatelné, záleží na tom, kolik má kapesník vrstev atp.).

Výfuček už byl skoro nad pyramidami, když měl koberec nehodu. A jak už to tak s poruchovými nadpřirozenými předměty bývá, přistál náš Výfuček v době, kdy se slavná pyramida teprve stavěla. Rozhodl se tedy ohromit faraona svými fyzikálními znalostmi a ukázal mu návrh svého dokonalého stavebního stroje.

Na obrázku vidíte Výfučkův náčrtek. Aby přesvědčil faraona, že se mu tento stroj vyplatí postavit, musel nejprve spočítat několik charakteristik:

1. Jakou silou tahá za kvádr o hmotnosti $M=100 \mathrm{kg}$ každé z lan, na kterých visí?
2. Jakou hmotnost $m$ musí mít pytel zavěšený na konci jednoho z lan?
3. Jak velká je celková síla, kterou lano působí na velké kladky? A jakým směrem míří?
4. Jakou silou musí kvalifikovaný dělník tlačit do lopatky mlýnu ve vzdálenosti $l=5 \mathrm{m}$, jak těžký musí být kvalifikovaný dělník stojící na mlýnu ve vzdálenosti $l/2$ a jakou silou musí poslední kvalifikovaný dělník tahat za lana přivázaná k mlýnu ve vzdálenosti $l$?

Provaz je od kladky po kvádr dlouhý $d=141{,}42 \mathrm{m}$ a kvádr je na něj přivázán v hloubce $h=36{,}60 \mathrm{m}$ pod úrovní horních konců kladek. Celý stroj je takto v rovnováze, všechna přivázaná lana jsou kolmá na mlýn. Všichni dělníci pracují společně a námahu dělí mezi lopatky rovnoměrně. Jak bylo již ve Výfučtení naznačeno: úlohu a hledané číselné hodnoty můžete určit také graficky za pomoci rýsování a přepočtu ve správném poměru.