3. série 13. ročníku

Soňa potřebovala na stánek s experimenty válcový lavor s poloměrem podstavy $40 \mathrm{cm}$. Její stánek za den navštívilo $x = 220$ dětí, které chodily v pravidelných intervalech, a každé dítě při experimentu vycákalo část vody z lavoru. Kolik vody v průměru vycákalo jedno dítě, jestliže ráno byla v lavoru hladina vody ve výšce $h = 15 \mathrm{cm}$, večer ve výšce $h_1 = 3 \mathrm{cm}$ a Soňa v průběhu dne dolila do lavoru $n = 30$ lahví s objemem $1{,}5$ litru?

Po jaké době si Soňa musí vysušit hadr, pokud zvládne nasát $V\_h = 0{,}75 \mathrm{l}$ vycákané vody? Uvažujte, že je voda z lavoru vycákávána přibližně rovnoměrnou rychlostí a že hadr sám od sebe neschne. Celá akce trvala 5 hodin.

Viktor si na koleje koupil plátno, aby zde mohl organizátorům Výfuku promítat filmy. Když měl rozsvíceno a stáhl plátno, všiml si, že plátno částečně zastíní světlo ze žárovky a díky zrcadlu umístěnému v místnosti vznikají zajímavé obrazce. Vyznačte do nákresu Viktorova pokoje části stěn, na které bude dopadat stín plátna. Řešení vypracujte graficky tak, aby byl jasný váš geometrický postup.

Nápověda: Pro vyznačení všech důležitých paprsků budete potřebovat mít pod obrázkem trochu místa.

Viktor seděl v autobusu jedoucím rychlostí $v_1 = 60 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ a držel zrcadlo kolmo na směr jízdy se zrcadlící plochou směřující dozadu (tedy na zadní část autobusu). Najednou si všiml, že autobus začalo předjíždět auto jedoucí rychlostí $v_2 = 80 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Jak rychle se v zrcadle pohyboval obraz auta vzhledem k Viktorovi sedícímu v autobuse a vzhledem k chodci, který stojí na přechodu a kolem kterého autobus právě projíždí?

Jirkovi začaly pomalu docházet brambory. Už nezbyly žádné velké, ale jen několik malých. Všiml si, že mu loupání těchto malých brambor zabere déle. Spočítejte, jak dlouho mu potrvá oloupat půl kila malých brambor, jestliže mu půl kila velkých brambor zabralo přibližně 15 minut. Předpokládejte, že mají všechny brambory přibližně stejný tvar a že malé brambory jsou dvakrát menší (tj. mají dvakrát menší rozměry). Jirka loupe danou velikost povrchu vždy stejně rychle, nezávisle na velikosti brambor.

Patrik vzal do ruky svinovací metr o délce $5 \mathrm{m}$ a celkové hmotnosti $m\_c=250 \mathrm{g}$. Následně ho pustil dolů z vysoké zídky, přičemž stupnici držel za kovový konec. Stupnice metru se při pádu postupně odmotávala, dokud se svinovací metr nezastavil a na stupnici se ukázalo číslo $l=75 \mathrm{cm}$.

Představme si, že uvnitř svinovacího metru se nachází pružina smotaná do tvaru šroubovice. Pružina je připevněna ke konci stupnice, takže když se metr odmotává, smotaná pružina se „otáčí“ (fyzicky se natahuje, ale jelikož je smotaná do šroubovice, můžeme říct, že se její konec otáčí). Síla, kterou působí proti odmotání metru, je úměrná úhlu, o který byla otočena z rovnovážné pozice, tj. velikost síly je $k_\alpha*\alpha $, kde $\alpha $ je úhel ve stupních.

Následně Patrik metr rozebral a zjistil, že hmotnost těla metru, tedy bez srolované stupnice, je $m_t=105 \mathrm{g}$ a poloměr šroubovice je $r=2{,}25 \mathrm{cm}$ (stupnice je srolovaná do spirály o stejném poloměru jako pružina).

1. Určete délkovou hustotu kovové stupnice metru.
2. Určete úhlovou tuhost pružiny $k_\alpha $ uvnitř metru a sílu, kterou při zastavení pružina působila.
3. Spočítejte práci, kterou vykonaly třecí síly při odmotávání metru.

Uvažujte, že třecí síly jsou úměrné rychlosti, tedy působí pouze při odmotávání metru. Když se metr nepohybuje, jsou třecí síly nulové.

Nápověda: Berte v potaz, že jestliže je síla pružiny přímo úměrná jejímu otočení, pak je i přímo úměrná délce odmotané části metru – chová se tedy podobně jako obyčejné pružiny.

Ze školy víme, že všechna tělesa na zem „padají“ stejně rychle. To však platí pouze ve smyslu tíhového zrychlení. V důsledku odporu vzduchu pochopitelně bude například cihla padat rychleji než pírko. Jak je to však s předměty se stejným tvarem, které se liší pouze hmotností?

Vyrobte si dva identické, ale různě těžké míčky (např. naplněním jednoho tenisového nebo pingpongového míčku matkami), pusťte je z velké výšky a změřte rozdíl časů dopadu. Měřením doby pádu pro různé počáteční výšky určete výšku, pro kterou je již rozdíl dob pádu znatelný a odpor vzduchu tedy není zanedbatelný.

1. Na Měsíci působí na pytel brambor tíhová síla $81 \mathrm{N}$. Jakou hmotnost má pytel a jaká je jeho tíha na Zemi?
2. Kus oceli na vodě neplove, ocelový tanker však ano. Mějme tanker o hmotnosti $45 \mathrm{000 t}$. Jaký minimální objem musí tanker mít, aby mohl plovat na vodě?
3. Výfuček si hrál v umyvadle s pirátskou lodí. Původně měl zlatý poklad položený v lodi, pak ho ale napadlo, že by piráti poklad lépe schovali, kdyby ho připevnili pod loď. Pokud Výfuček přiváže na loď poklad zespodu, co se stane s hladinou vody v umyvadle – klesne, stoupne, nebo zůstane stejná?
4. Kvádr korku o hustotě $\rho = 520 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a rozměrech $10 \mathrm{cm}\times 10 \mathrm{cm}\times 15 \mathrm{cm}$ položíme do akvária o rozměrech podstavy $12 \mathrm{cm}\times 12 \mathrm{cm}$, ve kterém je $0{,}78 \mathrm{l}$ vody. Bude kvádr plovat? Odpověď odůvodněte.