6. série 11. ročníku

Lubor si hrál s nůžkami a zamyslel se, jak vlastně funguje dělení papíru a běžně používané formáty jako například A4. Rozměry klasického papíru ale všichni znají, proto začal přemýšlet nad tím, jak velké by byly netradiční formáty. Rozstříhal tedy jeden papír A4 na několik částí. Všiml si, že plocha jednoho ze vzniklých kusů má stejnou plochu jako papír, který se běžně označuje jako A7. Jakou má tento kus plochu? Další kus papíru změřil, spočítal jeho plochu a vyšlo mu, že papír má velikost $4{,}8 \mathrm{cm^2}$. Jaké označení by měl papír s takovou plochou, pokud by měl zároveň správný poměr stran $(1:\sqrt {2})$?

Když byl Výfuček malý, tak si myslel, že kolem Slunce obíhá po stejné dráze jako Země i konvice na čaj. Na jak velké části orbity (vyjádřete v jednotkách úhlu i vzdálenosti) by musela konvice obíhat, abychom ji ze Země nemohli vidět, tedy aby byla skrytá za Sluncem?

Dráhu Země považujte za kruhovou, poloměr této dráhy i rozměry Slunce si dohledejte. Poloměr Země zanedbejte – uvažujte bodového pozorovatele.

Odhadněte, kolik pingpongových míčků by bylo třeba, aby vyzdvihly potopený vrak lodi Titanic na hladinu. Uvažujte, že Titanic je stále „v jednom kuse“ a pingpongových míčků na něj můžeme připevnit neomezené množství. Ostatní údaje dohledejte či odhadněte. Zkuste odhadnout, zda by se všechny tyto míčky vešly přímo do lodi, nebo zda bychom je museli připevňovat i na ni.

Lubor pozoroval, jak po výbuchu islandské sopky Fagradalsfjall stéká láva do moře, a zaujalo ho, jak z moře stoupá obrovské množství páry. Zamyslel se proto, jaké množství vody je potřeba na schlazení magmatu.

Představme si, že nalijeme do vody roztavené železo o celkové hmotnosti $10 \mathrm{g}$. Jaký objem vody bychom potřebovali, aby se při schlazení železa všechna odpařila (železo tedy bude mít na konci experimentu teplotu právě $100 \mathrm{\C }$)? Teplota roztaveného železa je $1 \mathrm{500 \C }$, teplota tuhnutí $1 \mathrm{200 \C }$, voda má pokojovou teplotu $20 \mathrm{\C }$. Měrná tepelná kapacita železa je $450 \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$, skupenské teplo tuhnutí $2{,}72 \mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$, měrná tepelná kapacita vody $4 \mathrm{200 J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$, skupenské teplo varu $2 \mathrm{257 kJ\cdot kg^{-1}}$.

Pozn.: ve skutečnosti se měrná tepelná kapacita železa s ohřátím převážně zvyšuje až do bodu tání, kdy pak zůstává převážně konstantní. Tento výpočet tedy berte jako spodní hranici objemu vody.

Výfuček si koupil novou kuličkovou dráhu, jejíž jednotlivé dílky byly spojené kolejemi. Občas se mu ale stalo, že na vodorovných kolejích se kuličky v důsledku působení tření zastavily, přestože si myslel, že by se to stávat nemělo. Jak to tedy vlastně s tímto problémem je?

Nejdříve si musíme ujasnit to, že na kuličky tření stále působí. I když je třecí plocha mezi kolejí a kuličkou velmi malá, je pro samotný proces kutálení naprosto zásadní. Kdyby nám kuličky o kolej netřely, mohly by klidně projet celou kuličkovou dráhu bez toho, aby se otáčely – jely by jako kvádr po nakloněné plošině! Toto tření je ale pro zastavování kuliček zanedbatelné – mnohem více nám naše kuličky bude zastavovat tzv. valivý odpor. To je veličina, která nám v závislosti na materiálech povrchu kuličky i koleje a průměru tělesa řekne, jaká síla působí proti pohybu kuličky. Můžeme ji spočítat jako: $$\begin{equation*} F_v=\frac {F_n e}{r} , \end {equation*}$$ kde $F\_v$ je náš valivý odpor, $F\_n$ normálová síla (na vodorovné koleji shodná s gravitační silou, jinak je to ale síla působící v kolmém směru na kolej – vzniká při vektorovém rozkladu gravitační síly na posuvnou a právě normálovou), $e$ je tzv. rameno valivého odporu, které je analogem koeficientu tření u třecí síly (je to experimentálně změřená hodnota závislá na vnitřním tření materiálu, tuhosti a struktuře povrchu¹⁾) a $r$ je v tomto vzorci poloměr našeho tělesa – naší kuličky.

Pokud již tedy víme, jak valivý odpor funguje, můžeme si s ním zkusit něco vypočítat.

• Mějme kuličku o poloměru $1 \mathrm{cm}$ a vodorovnou kolej o délce $x$. Kolej má rozpětí kolejnic $9 \mathrm{mm}$. Pokud je kulička ocelová (má hustotu $7 \mathrm{850 kg\cdot m^{-3}}$) a kolej také (s ramenem valivého odporu o hodnotě $0{,}005 \mathrm{mm}$), jak daleko dojede kulička (jak dlouhé je $x$), pokud ji na tuto vodorovnou dráhu vypustíme rychlostí $v_0 = 10 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$? Kuličku vypustíme tak, že má rychlost $v_0$, ale zpočátku se neotáčí.

Bonus: Jak dlouho bude trvat kuličce, než se zastaví? Pro výpočet tohoto času budeme muset uvažovat nejen translační, ale i rotační energii kuličky.

Nápověda: Kdyby kulička neměla rotační energii, jednalo by se o jednoduchou úlohu. Pokud se pořádně zamyslíte nad tvarem energie kuličky, přijdete však na to, že se dá upravit. Tím můžete vysvětlit, jak rotační energie ovlivní pohyb kuličky.

• Jaké nejmenší klesání musí mít lineární trať pro stejnou kuličku na stejné koleji jako v otázce 1, aby její rychlost vzniklá klesáním překonala valivý odpor, který bude kuličku zpomalovat? <

Změřte průměrnou rychlost (myšlena jako podíl celkové vzdálenosti a celkového času) libovolného druhu transportního zařízení někde ve vašem okolí. Změřenou hodnotu porovnejte s hodnotou určenou např. dopravní značkou pro daný úsek silnice nebo jiným předpisem či nařízením a pokuste se vysvětlit případné odlišnosti.

Jako transportní zařízení můžete použít vše od aut přes koně až po eskalátor. Také nezapomeňte uvést, které záchytné body jste použili k naměření vzdálenosti. Pokuste se také odhadnout nepřesnosti měření.

Jirka se uprostřed léta rozhodl vyrazit na průzkum jeskyně, která byla $h = 20 \mathrm{m}$ hluboko pod povrchem. Protože se mu nechtělo při zpáteční cestě šplhat $20$ metrů nahoru, připravil si na návrat zpět tepelný stroj. Jirkův stroj dokáže přijímat teplo z povrchu při teplotě $T_1 = 30 \mathrm{\C }$ a odevzdává teplo na dně jeskyně, kde teplota klesla až na $T_2 = 8 \mathrm{\C }$. U zvedacího mechanismu stroje se však bohužel vyskytuje tření, proto je jeho účinnost pouze $\eta = 0{,}01$.

1. Kolik tepla musí minimálně stroj odebrat z povrchu, jestliže má vyzvednout Jirku až na povrch? Hmotnost Jirky spolu s částí konstrukce stroje, která je zvedána, je $m = 90 \mathrm{kg}$.
2. Jak se po ukončení celého procesu změní entropie stroje? Uvažujte, že všechny přesuny tepla probíhají vratným způsobem při konstantních teplotách a že ke ztrátám dochází pouze u zvedacího mechanismu, který je umístěn na povrchu (a jeho teplota je tedy $T_1$).