1. série 12. ročníku

Výfuček se rozhodl, že Luborovi upeče k narozeninám dort. Koupil si krabici šesti totožných vajec seřazených ve dvou řadách po třech. Rozmístění vajec ho zaujalo a začal uvažovat nad tím, která vejce by mohl odebrat, aby se neposunulo těžiště celé krabičky. Pomozte Výfučkovi a určete všechny možné kombinace odebraných vajec. Proč jiné kombinace nepřichází v úvahu?

Dva zoufalí organizátoři přednáškové noci si potřebují nechat rozměnit $5 000$ korun. Mají dvě dvoutisícikorunové a jednu tisícikorunovou bankovku. Rádi by sehnali 50 padesátikorun a 100 dvacetikorun. Po neúspěšné návštěvě pěti bank se rozhodli jít nakupovat do Tesca a rozměnit peníze tímto způsobem. Organizátoři si při jednom nákupu koupí právě jednu francouzskou bagetu v ceně $9{,}90 \mathrm{Kč }$. Paní prodavačka je však velmi zlomyslná, a tak vrátí vždy bankovky a mince o co nejvyšší hodnotě. Organizátoři mince požadované hodnoty již nadále nemění. Určete, kolik francouzských baget si organizátoři musí koupit, než seženou potřebné mince.

Když úžasný továrník Willy Wonka ukryl do svých čokolád pět zlatých výherních kupónů, vzrostla po Wonkově čokoládě prudce poptávka. Cena jedné tabulky odpovídá $35 \mathrm{Kč }$ a její hmotnost je $100 \mathrm{g}$. Vypočítejte, kolik korun na jedné tabulce děti ztratí, když se jejich čokoláda roztopí a $10 \mathrm{ml}$ zůstane na obalu (děti ji tudíž nesní). Uvažujte, že hustota roztopené čokolády je $1{,}3 \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$.

Bětka jednou cvičila na housle tak náruživě, až jí praskla jedna struna. Koupila si tedy novou, ocelovou. Při rozbalení ji napadlo změřit její elektrický odpor v nenataženém stavu a po napnutí na housle. Napnutím se struna prodlouží o $1 \;\%$ své původní délky. Jaký odpor napnuté struny Bětka změřila, když u nenapnuté struny délky $32 \mathrm{cm}$ a poloměru $0{,}25 \mathrm{mm}$ naměřila odpor $163 \mathrm{m\Omega }$? Uvažujte, že napnutím se nezměnila hustota struny, změnil se pouze její tvar.

Letadlo stoupá pod úhlem $3\dg $ tak, aby se dostalo do požadované výšky $h = 10 972\;\mathrm{m}$. Pokud u toho zrychluje se zrychlením $a = 20 \mathrm{km\cdot h^{-1}\cdot min^{-1}}$ z $v_0 = 300 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ na $v\_{max} = 880 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, za jak dlouho dosáhne požadované výšky $h$ a za jak dlouho rychlosti $v\_{max}$? Za jak dlouho by to bylo se stoupáním pod úhly $2\dg $ a $4\dg $? Mění se pak čas pro tyto různé případy lineárně, nebo ne? A proč?

Změřte co nejpřesněji tloušťku lidského vlasu. Postup měření důkladně popište a odhadněte jeho přesnost.

1. Jirka se rozhodl jít na horskou dráhu, kterou si můžeme schematicky rozdělit na tři části: nakloněnou rovinu pod úhlem $45 \mathrm{\dg }$ vysokou $h$ a dvě půlkružnice s poloměry $R$ a $r$, viz obrázek. Do vozíku nasedl v bodě 1 a vyrazil s nulovou počáteční rychlostí. Celková hmotnost vozíku a Jirky je $m$, vozík není nijak poháněn a v průběhu jízdy se nikdy neoddělí od kolejnic. Tření a odporové síly zanedbejte.
   1. Jaká bude Jirkova rychlost v bodě 2?
   2. Co musí platit pro $r$, aby se vozík mohl dostat do bodu 3?
2. Řetízek délky $l$ se nachází v klidu na hraně stolu vysokého $h$. Jeden konec řetízku posuneme za hranu stolu tak, že řetízek začne bez tření klouzat dolů. Jaká bude rychlost spodního konce řetízku, když se zrovna dotkne země? Všechny odporové síly zanedbejte.
3. Klasické žárovky mají nízkou efektivitu a většinu své energie přeměňují na teplo, zbytek na světlo. Taková žárovka s účinností $4 \mathrm{\%}$ se nachází v místnosti o rozměrech $5 \mathrm{m}\times 5 \mathrm{m}\times 3 \mathrm{m}$. Do žárovky přichází proud o velikosti $250 \mathrm{mA}$ a efektivní napětí $240 \mathrm{V}$.
   1. Jakým výkonem je ohřívána místnost (tedy kolik tepla je místnosti předáno každou sekundu), jestliže je žárovka v tepelné rovnováze a veškeré světlo uniká z místnosti okny a žádnou energii jí nepředává?
   2. Za jak dlouho se vzduch v místnosti ohřeje o $10 \mathrm{\C }$? Hustota vzduchu je $1{,}3 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a měrná tepelná kapacita vzduchu při konstantním objemu (což je náš případ) je $720 \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Předpokládejte, že stěny se neohřívají.
   3. Kolik kilogramů černého uhlí bychom museli spálit, aby došlo ke stejné změně teploty? Výhřevnost černého uhlí je $26 \mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$.