4. série 11. ročníku

Robert se přihlásil do soutěže Milionář. Soutěžící dostane vždy otázku a čtyři možné odpovědi, z nichž musí vybrat tu správnou, aby postoupil do dalšího kola. Takovýchto kol má soutěž celkem patnáct. Aby to ale nebylo tak přímočaré, má soutěžící možnost jednou využít nápovědu padesát na padesát, díky čemuž pak bude moct u dané otázky vybírat už pouze ze dvou možných odpovědí, jednou zavolat některému ze svých přátel a poprosit ho o radu a jednou nechat hlasovat publikum o tom, která odpověď je správná. Jaká je pravděpodobnost, že Robert odpoví na všechny otázky správně, pokud nebude znát ani jednu správnou odpověď, a navíc využije jen padesát na padesát, neboť nevěří svým přátelům a už vůbec ne divákům?

Soňa má dva kocoury, Kosíka a Datlíka. Svůj záchod mají ve stejné místnosti jako Soňa, se svými kocoury se tak na toaletě Soňa občas potká. Kocour Kosík chodí na toaletu s frekvencí $f=0{,}1875 \mathrm{hod^{-1}}$, kocour Datlík třikrát denně v pravidelných intervalech a Soňa každých $192 \mathrm{minut}$. Kolikrát za den a v jakých časech se všichni tři potkají, jestliže naposledy se potkali v 10 hodin večer?

Parní vlak si s sebou veze $10 \mathrm{t}$ černého uhlí. Výhřevnost černého uhlí je $20 \mathrm{MJ/kg}$, parní stroj ovšem dosahuje ve spalování účinnosti jen $8 \mathrm{\%}$. Aby náš vlak překonal veškerý odpor, musí vykonávat sílu $100 \mathrm{kN}$ (pro jednoduchost je tento odpor konstantní, nezávislý na hmotnosti uhlí). Jak daleko dokáže tento vlak na $10 \mathrm{t}$ černého uhlí dojet? Kolik uhlí by bylo třeba, aby dojel z Prahy do Brna, tedy ujel vzdálenost $257 \mathrm{km}$?

Lukáš seděl při parném letním odpoledni v parku a čekal na kamarády. Bylo takové vedro, až se Lukáš podivil, že se lavička, na kterou již od rána svítilo slunce, ještě neroztavila. Hned si však uvědomil, že lavička teplo nejen přijímá, ale také odevzdává. Lukáše tato úvaha zaujala, a tak se rozhodl spočítat, na jaké hodnotě by se teplota lavičky měla ustálit. Ví, že ze Slunce dopadá na jeden metr čtvereční výkon $1 \mathrm{360 W}$, a také ví, že intenzitu tepelného záření, které vyzařuje lavička, může vypočítat pomocí Stefanova-Boltzmannova zákona \[\begin{equation*} I = \sigma T^4  , \end {equation*}\] kde $\sigma \doteq 5{,}67 \cdot 10^{-8} \mathrm{W\cdot m^2\cdot K^{-1}}$ je Stefanova-Boltzmannova konstanta a $T$ je teplota v kelvinech. Dále Lukáš odhadl, že sluneční záření dopadá na polovinu povrchu lavičky a že přenos tepla mezi lavičkou a vzduchem odebere lavičce čtvrtinu¹⁾ dopadajícího výkonu. K jaké teplotě by měl Lukáš výpočtem dojít?

Robertovi se podařilo vyhrát v soutěži Milionář, aniž by znal jedinou správnou odpověď (musel tipovat). Za výhru uspořádal velkou párty v bazénu. Rozlil hostům poslední jahodový mošt ze skleněné lahve válcového tvaru o objemu $V = 1 \mathrm{l}$, jejíž stěny mají zanedbatelnou tloušťku, když ho v tu chvíli napadlo, že ji může využít k fyzikálnímu experimentu.

Zavřel lahev a ponořil se ke dnu bazénu, jehož hloubka je $h = 2 \mathrm{m}$.

1. Jaká vztlaková síla působila na plně ponořenou lahev? Měnila se tato síla s hloubkou?
2. Jak velký hydrostatický tlak pociťovala lahev na dně bazénu?
3. Robert pak držel hrdlo lahve směrem dolů a lahev otevřel tak, že z ní neunikl žádný vzduch, ale natekla do ní voda. Jaký objem vody natekl do lahve?

Předpokládejte, že vzduch v lahvi zůstane při stejné teplotě, protože voda přebytečné teplo odvede. Atmosférický tlak je za normálních podmínek roven $p\_A = 101\,325 \mathrm{Pa}$. Nápověda:: Může vám pomoci stavová rovnice ideálního plynu. Ta dává do vztahu tlak $p$, objem plynu $V$ a jeho teplotu $T$: \[\begin{equation*} \frac {pV}{T} = nR , \end {equation*}\] kde $n$ je látkové množství plynu v molech a $R$ je molární plynová konstanta. Pokud se teplota plynu při ději nemění, je součin $pV = \mathrm{konst.} $, a je tedy na začátku děje stejný jako na jeho konci.

Marco s Kačkou jeli ve vlaku a pili mléko z nápojového kartonu. Uvědomili si, že když je karton plný, otřesy vlaku jej převrhnou mnohem snáze, než když už bude trochu mléka upito.

Vaším úkolem bude vzít si uzavíratelný karton ve tvaru kvádru (např. od mléka nebo džusu) a zkoumat jeho stabilitu. Pro alespoň deset různých (počátečních) výšek kapaliny v kartonu určete úhel, o který jej můžete naklonit, než se převrhne. Měření opakujte vícekrát. Určení výšky kapaliny v kartonu necháváme na vás (lze např. kapalinu vážit nebo nalévat daný objem).

Co nejpřesněji určete, pro jakou výšku kapaliny je nápojový karton nejstabilnější. Pokuste se k vašemu řešení přiložit nějaké fotografie. Nezapomeňte taktéž specifikovat rozměry kartonu a další relevantní parametry.

Zkusme si na chvíli představit, že se nám energetickou a environmentální krizi podaří úspěšně překonat. Přenesme se do budoucnosti, ve které má lidstvo k dispozici vyspělé technologie a prakticky neomezené množství energie, a zkusme se zamyslet, jak by mohla vypadat fotonická plachetnice s lidskou posádkou.

1. Mějme fotonickou plachetnici s hmotností (vč. plachty) $m = 2 \mathrm{000 t}$, která se pohybuje rychlostí $0{,}2 \mathrm{c}$. Jakou má tato plachetnice (relativistickou) kinetickou energii? Jak by nejspíš dopadla planeta, ke které by mířila, kdyby se ji nepodařilo zabrzdit? Doporučujeme srovnání s jaderným výbuchem přes ekvivalent TNT.
   
2. Nyní již počítejme pro jednoduchost nerelativisticky. Plachetnici urychlujme konstantní silou po vzdálenost $s$. Odvoďte vztah pro rychlost plachetnice $v$ na konci urychlování. Tato rychlost bude záviset na velikosti působící síly $F$ a hmotnosti plachetnice $m$ (najděte obecný vztah mezi veličinami, nepočítejte s konkrétními číselnými hodnotami jako v minulém příkladě). Počáteční rychlost plachetnice je nulová.
   
3. Uvažujme laser o výkonu $P$. Jaká síla bude na plachetnici působit v závislosti na tomto výkonu? Nápověda: Zkuste upravit vztah ve Výfučtení. Energii jednoho fotonu spočítáme jako $E = hc/\lambda $.
   
4. Mějme laser o výkonu $P = 10 \mathrm{PW}$, který fotonickou plachetnici dokáže efektivně urychlovat až na vzdálenost $s = 10 \cdot 10^{11} \mathrm{km}$. Jakou rychlost plachetnice získá? Za jak dlouho doletí k našemu nejbližšímu hvězdnému sousedovi?