5. série 10. ročníku

Výfuček měl sen, ve kterém se mu rozbilo zrcadlo na $2 020$ stejných kousků. Když je sbíral do košíku, počítal si postupně zlomky, které reprezentovaly část zrcadla, kterou už posbíral: $1/2 020$, $2/2 020$, $3/2 020$ až $2 020/2 020$. Výfuček samozřejmě všechny zlomky hbitě upravil do základního tvaru. Kolik celkových zlomků, které Výfuček vyjmenoval, mělo po upravení do základního tvaru ve jmenovateli dvacítku?

Když vypijeme kávu, dostane se do našeho těla látka zvaná kofein, díky které se cítíme více aktivní. Tato látka je postupně vyplavována a její účinky slábnou. Vyplavování však probíhá nikoliv skokově, nýbrž postupně: za zhruba $T=6,0 \mathrm{h}$ se vyplaví půlka kofeinu (tento poločas samozřejmě závisí na každém člověku, jedná se jen o odhad).

Dejme tomu, že pijete pravidelně každý den ve čtyři hodiny odpoledne jednu kávu, která obsahuje $d=100 \mathrm{mg}$ kofeinu. Kolik kofeinu v sobě budete mít každý den po velmi dlouhé době ve čtyři hodiny odpoledne? Kolik kofeinu v sobě budete mít ve 22:00 každý den po velmi dlouhé době? (Velmi dlouhou dobu si můžeme představit třeba jako rok.)

Když Martin po patnácti minutách skončil s vysáváním v pokoji, zdálo se mu, že se v místnosti nějak oteplilo. A opravdu, v pokoji, kde bylo před vysáváním $20 \mathrm{\C }$, se zvedla teplota o $\Delta T = 3 \mathrm{\C }$. Martin nad tím uvažoval a uvědomil si, že jeho vysavač není dokonalý, a proto část energie uvolní jako teplo. Vypočtěte účinnost $\eta $ tohoto vysavače s příkonem $P = 2,0 \mathrm{kW}$, když objem vzduchu, který veškeré teplo pohltil, je $V = 40 \mathrm{m^3}$, jeho hustota je $\rho = 1,2 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a jeho měrná tepelná kapacita $c = 1\;010 \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Předpokládejme, že ztráty způsobené generováním tepla jsou jediné energetické ztráty vysavače.

Lukáše už z nošení roušky bolely uši, a tak se rozhodl spočítat, jakou silou asi rouška za ucho, které považujeme za jediný bod, tahá. Gumička roušky je v klidovém stavu dlouhá $l = 12 \mathrm{cm}$ a je připevněna na boční stranu roušky (která se nenatahuje) s délkou $d = 8 \mathrm{cm}$. Tuhost gumičky $k$ uvažujte jako $10 \mathrm{N\cdot m^{-1}}$. Jakou silou tahá rouška za ucho, když po nasazení roušky svírají konce gumičky úhel $60\dg $ a ucho je uprostřed délky natažené gumičky?

Jarda vytvářel stroj, jehož součástí byly kuličky, které se kutálely z výšky $h$. Když ale stroj dokončil, zjistil, že jeho kuličky po skutálení nemají dostatečnou rychlost. Chvíli se zamyslel a došlo mu proč: jeho kuličky se příliš točí.

Jarda je totiž pouštěl nikoliv po skluzavce, kde se dotýkají podložky spodkem, nýbrž po kolejích. V takovém případě se kulička dotýká kolejí ze dvou stran tak, že úhel mezi bodem dotyku s kolejí a spodkem kuličky je $45\dg $. V obou případech kulička nepodkluzuje, to znamená, že její posuvná rychlost je stejná jako rotační rychlost styčného bodu kuličky s podložkou.

Jardovy kuličky mají poloměr $r$ a hmotnost $m$. Jejich moment setrvačnosti je $J = 2/5 m r^2$, z čehož vyplývá, že při rotaci s úhlovou rychlostí $\omega $ mají kinetickou energii rotace $E\_k= 1/2 J \omega ^2$.

1. Jakou rychlost by kuličky po sjezdu měly, pokud by byly velmi malé, a dala by se tak zanedbat jejich rotační energie?
2. Jakou rychlost by skutečné kuličky po sjezdu měly, pokud by jely po skluzavce?
3. Jakou rychlost mají, když sjíždějí po kolejích?
4. Jaký je poměr rychlostí kuliček po sjezdu po skluzavce a po sjezdu po kolejích?

Když těleso padá volným pádem, tak sice nejprve zrychluje, ale poté dosáhne své nejvyšší terminální rychlosti, která zůstává po zbytek pádu konstantní. V měření u této úlohy použijeme tělesa, která dosáhnou terminální rychlosti brzy, a to papírové kornoutky. Když papírový kornoutek padá, působí na něj jednak gravitační síla, jednak odporová síla prostředí, kterou můžeme odhadnout jako \[\begin{equation*} F\_O = \frac {1}{2}C \rho S v^2  , \end {equation*}\] kde $v$ je rychlost kornoutku, $S$ jeho průřez, $\rho $ hustota vzduchu a $C$ je Newtonův odporový koeficient, který je konstantou pro těleso daného tvaru (nezávisle na velikosti). Dvě působící síly jsou v okamžiku, kdy má těleso terminální rychlost, v rovnováze.

Vaším úkolem bude změřit závislost terminální rychlosti papírového kornoutku na jeho velikosti při stejném vrcholovém úhlu. Každé měření několikrát opakujte a výsledek vyneste graficky. Naměřené hodnoty pak porovnejte se závislostí, kterou teoreticky předpovíte. Na základě toho určete velikost Newtonova odporového koeficientu kornoutků.

Nápověda: Nemáte-li doma dostatečně přesnou váhu, můžete hmotnost kužele určit z gramáže uvedené na balení papíru. Běžný kancelářský papír má $80 \mathrm{g}$ na $\mathrm{m^2}$.

Ve Výfučtení jsme si detailně představili fraktál zvaný Kochova vločka. Nyní si ji mírně modifikujeme a budeme zkoumat její vlastnosti. Základem naší vločky bude čára v podobě obvodu čtverce a každý krok bude probíhat tak, že jednu jeho stranu rozdělíme na třetiny a prostřední třetinu prodloužíme tak, aby mohla tvořit menší čtverec přiložený k původnímu (viz obrázek ).

1. Jaká bude délka útvaru po $n$-tém kroku? Co se s délkou bude dít, pokud budeme $n$ zvětšovat? Ustálí se na nějaké konkrétní hodnotě?
2. Najděte nějaký útvar s konečným obsahem, do kterého se vločka určitě vejde. Spočítejte jeho obsah, pokud strana původního čtverce má délku 1.
3. Určete Hausdorffovu a topologickou dimenzi naší vločky. Jedná se o fraktál?