2. série 9. ročníku

Jindra si řekl, že konečně nastal čas na jarní úklid. Do kartonové krabice se vleze $5 \mathrm{kg}$ nestlačeného papíru. Tento papír Jindra sešlápnul na polovinu objemu a opět krabici doplnil, výsledný objem potom zase stlačil (nestlačený papír se stlačuje na polovinu, stlačený se již dále nestlačuje). Takto postup opakoval, dokud to bylo možné. Kolik kg papíru se v krabici nacházelo po třech opakováních? A kolik když byl Jindra s uklízením hotový (tj. když postup zopakoval hrozně mockrát)?

Eva s Katkou smažily řízky na výlet. Dopoledne jich Eva spálila o $30 \mathrm{\%}$ více než Katka. Odpoledne Eva spálila 2, Katka nespálila žádný. Na výletě potom spočítaly, že jich Eva za celou dobu spálila o $50 \mathrm{\%}$ více než Katka. Kolik řízků spálily při smažení obě dohromady?

Pokud jste na pouti stříleli růže, jistě jste si všimli, že po výstřelu vám do ramene zatlačí puška silou takzvaného „zpětného rázu“. Jak velká je v průměru tato síla, která působí na rameno vojáka střílícího samopalem 800 ran za minutu? Střely vylétají rychlostí $v=700 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a hmotnost jedné je $m=3 \mathrm{g}$.

Archimédés jednou řekl: „Dejte mi pevný bod ve vesmíru a já pohnu Zemí.“ Vyplňme mu jeho přání. Mějme pevný bod čtyři poloměry Země daleko od Země a dlouhou pevnou tyč, která je v onom bodě zapřená. Země na tyči leží svým jižním pólem. Archimédés chce udělit Zemi takové zrychlení, aby tučňáci při jižním pólu zažívali stav beztíže: chtěl jako první zkoumat nelétavé ptáky ve stavu beztíže, aby vyvracel a potvrzoval hypotézy z Aristotelovy knihy „Perizoón kinesis,“ tedy o pohybech zvířat.

Tučňákům se ovšem tato myšlenka nezamlouvá, a tak umístili do vzdálenosti $100$ světelných let raketový motor o tahové síle $100 \mathrm{MN}$. Archimédés má k dispozici milion raketových motorů o tahové síle $10 \mathrm{MN}$. Do jaké vzdálenosti má své motory umístit, aby se jeho přírodovědecký plán vydařil? Pevná tyč je polopřímka, která vychází z pevného bodu, pokračuje pod planetou Zemí a dále jsou na ni ve dvou bodech umístěné raketové motory (jedná se tedy o jednozvratnou páku).

Vleze se dlouhá tyč do naší galaxie?

Jindra viděl zajímavé triky s jojem a hned začal přemýšlet, jak vlastně fungují z fyzikálního hlediska. Mějme tedy jojo, neboli těleso ve tvaru dvou válců o poloměru $R=2{,}5 \mathrm{cm}$, jejichž středy spojuje osa se zanedbatelnou hmotností. Každý z disků váží $m=50 \mathrm{g}$ a provázek má délku $l=1{,}00 \mathrm{m}$¹⁾

1. Jojo se jistě dá do otáčení. K charakterizaci otáčivého pohybu je užitečné znát tzv. kinetickou energii rotace joja $E\_k$. Kinetickou energii rotujícího válce lze vyjádřit jako $E\_k=MR^2\omega ^2/4$, kde $M$ je jeho hmotnost a $\omega $ úhlová rychlost. Vyjádřete tuto energii pro jojo tak, aby nezávisela na rychlosti úhlové, nýbrž obvodové.
2. Když jojo pustíme směrem dolů, začne se provázek z osy odmotávat. Jakou úhlovou rychlost bude mít jojo těsně předtím, než dorazí na konec provázku? Poloměr osy, která spojuje středy válců a na které je namotán provázek, je $r=0{,}5 \mathrm{cm}$.
3. Když jojo narazí na konec provázku, jeho posuvný pohyb se zastaví a zůstane mu pouze úhlová rychlost. Poté se hned začne postupně zase namotávat směrem nahoru, než se ve výšce $h$ úplně zastaví. Jak velká bude tato výška?
4. Jakou počáteční rychlostí $v_0$ bychom museli jojo hodit, aby se vrátilo do původní výšky (do ruky)? Myslíme tím takové hození, u kterého se bude jojo stále odmotávat z provázku bez podkluzování, jen s počáteční rychlostí $v_0$.

Čím je kolo těžší a větší, tím více nás stojí jej roztočit. Tomuto přírodnímu zákonu se nevyhne ani tak malé kolečko, jakým je jojo. Někteří z vás mohli v minulé úloze zkoumat existenci vztahu mezi tím, jak je jojo těžké a jak rychle se odvíjí na svém provázku – prověřme to nyní experimentálně! Seznamte se s délkou provázku na svém joju a změřte, jak dlouho trvá, než se vlastní vahou samo rozvine. Poté své jojo vylepšete a symetricky na něj, například pomocí špejlí, připevněte proměřené závaží ²⁾ (např. z plastelíny), které se bude točit spolu s ním. Vyzkoušejte, jak ovlivní čas to, že jste přidali zátěž na střed joja (oproti joju bez závaží), ale také to, jak ovlivní čas odmotávání posouvání závaží dále od středu joja (v ideálním případě to můžete znázornit graficky). Nakonec popište, jaká časová změna by pro vás byla intuitivní a proč, a zda ji experiment potvrdil.

1. Většina muzikantů ladí pomocí tzv. komorního A ($f=440 \mathrm{Hz}$). Zjistěte, jakou periodu a vlnovou délku bude mít tento tón, jestliže se zvuk šíří vzduchem rychlostí $v = 340 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
2. Když okolo vás projíždí sanitka, můžete si všimnout, že při přijíždění slyšíme její sirénu výše, než když odjíždí. Jaký bude rozdíl frekvencí tónů, které slyšíme, jede-li sanitka rychlostí $v = 80 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ a má-li siréna frekvenci $f_0 = 2{,} \mathrm{kHz}$?
3. S kamarádem jste se domluvili, že si půjdete zahrát tenis. Protože se chcete procvičit, navrhne vám, že na vás bude házet míčky z druhé strany kurtu. Abyste to neměli tak jednoduché, bude se při házení přibližovat k síti rychlostí $2{,} \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Kamarád hází každou sekundu jeden míček letící rychlostí $15 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Jak často k vám budou míčky dolétat? Jak se četnost míčků změní, když bude proti jejich letu působit protivítr, který míčky zpomalí o $5{,} \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ (a kamarád se i v tomto případě bude stále přibližovat)?