3. série 10. ročníku

Eva pekla vánoční cukroví a jednu várku kompletně spálila, Aleš ji ale uklidnil, že to ještě není nejhorší. Třeba Pat a Mat – ti když pekli, bylo to tak tvrdé, že si z toho vydláždili chodník. Eva se zeptala, jestli by se z jejích lineckých komet dal dláždit nekonečný prostor. Aleš jí odpověděl, že ne, a oba začali přemýšlet, jaké jiné cukroví by Eva měla upéct, aby se jí to podařilo.

Dokažte, že se nekonečná plocha dláždit dá, a vymyslete alespoň 5 různých tvarů, kterými to lze (jako bonus můžete vymyslet nějaký typický tvar vánočního cukroví).

Podíváte-li se na mapu Evropy s hlavními městy (třeba zde¹⁾), možná vás zarazí, že ve většině případů nejsou hlavní města ve vnitrozemí, ale u hranice. I když vyloučíme přímořské státy (u nichž je pravděpodobné, že je hlavní město přístav), tento trend je zřejmý. Ale proč? Nebylo by pro administrativu výhodnější, kdyby hlavní město bylo ve středu země, aby ke každému místu mělo co nejblíže?

Podíváme se na jedno možné matematické vysvětlení tohoto fenoménu: náhodu. Představme si nějaký vzorový stát, který má pro zjednodušení tvar kruhu. Když bychom na mapu tohoto státu chtěli umístit hlavní město, přičemž všechna místa by měla stejnou pravděpodobnost, s jakou pravděpodobností bychom jej umístili do vnitřku – kruhu o poloměru půl $r$?

Kdo správně počítá, vidí, že zdaleka nevyšla pravděpodobnost $50 \mathrm{\%}$. Jaký by musel být vnitřní poloměr vyjádřený jako násobek poloměru $r$, aby šance na umístění do vnitřního půlkruhu byla stejná jako šance na umístění ven?

Lidové přísloví říká, že čert se skrývá v maličkostech, a obzvláště mnoho se jich nachází u konstrukce auta. Jako nadějní mladí inženýři byste mohli sestrojit účinný motor, připevnit jej na kola spojená tyčí a vyrazit na cestu. Nicméně v nejbližší zatáčce byste zažili první překvapení. Vzhledem k tomu, že vaše auto má nezanedbatelnou šířku, by se kola v zatáčce otáčela s rozdílnými rychlostmi, což by autu nesvědčilo.

Ke skutečným autům je připojena součástka s názvem diferenciál, jejímž úkolem je řešit rozdílné rychlosti otáčení kol, pojďme se však podívat, jak markantní tento rozdíl v reálné situaci je.

Představme si např. Škodu Favorit jedoucí do levotočivé zatáčky o vnitřním poloměru $10 \mathrm{m}$ rychlostí $v=30 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Vzdálenost kol od sebe je cca $1{,}6 \mathrm{m}$ a jejich poloměr je $r=34 \mathrm{cm}$. Představte si pro zjednodušení, že obě přední kola cestují po soustředných kružnicích.

1. Je-li $v$ rychlost levého kola, jakou frekvencí (tj. kolikrát za sekundu) se kolo otáčí kolem své osy?
2. Jakou frekvencí se otáčí kolem své osy pravé kolo a jaký je to rozdíl?

Počítejte s tím, že obě kola neprokluzují.

Jonatán si stoupl doprostřed kolotoče, což je disk s poloměrem $r=5{,}0 \mathrm{m}$, když v tom ho Barbora stojící mimo kolotoč roztočila konstantní frekvencí $f=1{,}0 \mathrm{Hz}$. Jonatán chtěl k Barboře přijít a napadly ho dvě možnosti, jak to udělat. Nejdříve ho napadlo, že půjde prostě rovně.

1. Půjde-li rovnou za nosem (a zpočátku se dívá na Barboru), jakou musí jít rychlostí, aby nemusel na konci kolotoče čekat? Tj. aby přesně na konci své dráhy byl u Barbory? Pokuste se popsat všechny možné rychlosti.

Napadla ho ale ještě jiná možnost – půjde tak, aby Barboru pořád viděl před sebou. V takovém případě ale bude jeho rychlost poněkud komplikovaná a jistě se bude v čase měnit.

2. Zaveďte si souřadnicovou mřížku $x$ a $y$ (tzv. kartézské souřadnice), kde osa $x$ bude procházet Barborou a Jonatánem na počátku. Tyto souřadnice by měly být „spojené se zemí“, tzn. že vůči nim se kolotoč bude otáčet. Vyjádřete rychlost Jonatána v těchto souřadnicích, aby při chůzi měl Barboru pořád před sebou. Tato rychlost bude záviset na čase a bude mít dvě složky (matematici by řekli, že se jedná o vektor rychlosti). Zároveň předpokládejte, že Jonatán dojde k Barboře za stejný čas jako nejmenší možný čas v předchozí úloze.

Robert o hmotnosti $m=62 \mathrm{kg}$ má otočnou židli o hmotnosti $m\_z=8 \mathrm{kg}$ a rád na ní cestuje. Odráží se o stůl o hmotnosti $m\_s=35 \mathrm{kg}$ uprostřed pokoje. Jestliže se Robert odrazí rychlostí $v=2 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, odcestuje do vzdálenosti $s=0{,}5 \mathrm{m}$.

1. Jak velká brzdná síla na židli působí?
2. Jakou rychlost má stůl těsně potom, co se od něj Robert odrazí?
3. Jak daleko docestuje stůl, pokud je brzdící síla stejná pro stůl i pro židli? A jak daleko, pokud je pro oba síla úměrná tlakové síle na podložku?

Na adresách https://bit.ly/2HsaCaC a https://bit.ly/33aoVIF máte přístup ke dvěma vzdáleně řízeným experimentům prováděným na stejném zařízení. Prvním je detekce částic radioaktivního záření v závislosti na vzdálenosti vzorku od detektoru (stínění vzduchem) a druhým je detekce při konstantní vzdálenosti, ale se stíněním rozdílně tlustými destičkami různých materiálů.

Detektor snímá částice vždy po určitý čas a měření opakuje, protože pro každý časový interval vzorek vyzáří různý počet částic. Vyberte si jeden z experimentů a po přečtení všech informačních textů proměřte vzorek ve všech nabízených délkách, či stíněních.

V teoretické části vašeho řešení popište experiment, jak mu rozumíte a především dobře svými slovy popište vaše experimentální uspořádání i zdroj záření. Údaje použijte na určení průměrného průběhu množství zachycených částic za daný interval v závislosti na vzdálenosti či stínění a nezapomeňte přiložit graf a tabulku hodnot (zprůměrovaných z opakovaných měření za několik intervalů – počet intervalů si sami určete). (Úlohu nemusíte zpracovávat podle pokynů na dané webové stránce v sekci Zpracování / Zpracování naměřených dat, ale jen dle pokynů zde.) Vysvětlete svými slovy, proč jsou hodnoty takové, jaké jsou.

Upozornění: Experiment je veřejný, a proto není dobrý nápad se k němu dostat na poslední chvíli! Pokud jej někdo používá, ovládání je pro ostatní uživatele zablokováno nejdéle na 20 minut. V takovém případě musíte přijít později, proto doporučujeme úlohu zpracovat s předstihem (blokování může být ale způsobeno i tím, že jste otevřeli oba zmíněné odkazy naráz). Pokud něco nefunguje, kontaktujte nás rovnou na vyfuk@vyfuk.mff.cuni.cz či tel. čísle +420 728 060 232.

Julča má nový mikroskop a začala přemýšlet, co si pod ním zobrazí. Jelikož ji zajímá i mikrobiologie, napadlo ji, že by si mohla zobrazit prvoka, kterého by normálně neměla možnost tak detailně spatřit.

1. Vypočítejte skutečnou velikost tohoto prvoka a příčné zvětšení mikroskopu, když víte, že úhlové zvětšení mikroskopu je $125$, velikost obrazu je $0,5 \mathrm{cm}$ a předmětová ohnisková vzdálenost okuláru je $2 \mathrm{cm}$.
   
2. Jelikož Julča chtěla pořádně prozkoumat možnosti mikroskopu, vyměnila stávající objektiv za jiný, který má zvětšení $40\times $, a chtěla jej nastavit tak, aby viděla prvoka stejně zvětšeného jako předtím. Jaké úhlové zvětšení okuláru musí použít?
   
3. Na jakou délku musí v tomto případě nastavit tubus mikroskopu (okulár vzdálit od objektivu), aby mohla vidět onen stejně zvětšený ostrý obraz za předpokladu, že nový objektiv má obrazovou ohniskovou vzdálenost $1 \mathrm{mm}$?