2. série 12. ročníku

Mějme dvě stejně vysoké svislé podpěry a položme na ně homogenní tyč délky $l$ (viz obrázek). Lubora by zajímalo, jak daleko od sebe mají být podpěry vzdáleny a jakým způsobem na ně položit tyč, aby byla tyč co nejstabilnější. Dokážete mu poradit?

Stabilitu definujeme jako minimální vzdálenost, o kterou musíme tyč posunout, než z libovolné podpěry spadne. Vzdálenost podpěr a polohu tyče vyjádřete v násobcích délky tyče $l$.

Výfuček se vypravil na výlet k pyramidám. Legenda praví, že zdejší faraon měl zálibu v matematice. Proto je na každém bloku pyramidy napsáno přirozené číslo, které je součtem čísel na dvou kamenech pod ním. Zub času se postaral o to, že většinu očíslovaných kamenů zavál písek. To však pro Výfučka není žádná překážka a hravě si dovede skrytá čísla dopočítat! Zkuste to taky a doplňte čísla na všechna nepopsaná místa pyramidy. Egypťané rozhodně nepovažovali nulu za přirozené číslo.

Kačka jednou stála na pouti u řetízkového kolotoče a přemýšlela, co by se stalo, kdyby se některá ze sedaček utrhla. Pomozte Kačce a nakreslete, jak by se sedačka pohybovala z pohledu Kačky stojící vedle kolotoče a z pohledu dítěte, které se právě na kolotoči veze (na jiné sedačce, která naštěstí vydržela). Stačí přibližný náčrt, nemusíte pohyb přesně počítat. Své řešení okomentujte.

Jirka se vydal na večerní procházku s přáteli. V průběhu večera si všiml, že přes oblohu přeletěla Mezinárodní vesmírná stanice (ISS). Jeden z kamarádů se jej zeptal, jak vysoko nad povrchem ISS obíhá. Jirka si však výšku nepamatuje a on, ani žádný z jeho přátel, nemají signál, proto si údaj nemohou vyhledat na internetu. Rozhodl se tedy, že výšku $h$ ISS nad povrchem spočítá. Pozoroval proto noční oblohu a na hodinkách změřil, že další přelet ISS nastal o $T = 93 \mathrm{min}$ později. Dále si vzpomněl, že poloměr Země je $R = 6 378 \mathrm{km}$ a gravitační zrychlení na povrchu je $a\_g = 9{,}8 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Spočítejte, stejně jako Jirka, výšku ISS nad zemským povrchem s využitím pouze těchto tří údajů, když víte, že dvě tělesa o hmotnostech $m$ a $M$, ve vzájemné vzdálenosti $r$ na sebe působí gravitační silou o velikosti: \[\begin{equation*} F\_g = \frac {GMm}{r^2}  , \end {equation*}\] kde $G$ je konstanta, jejíž číselnou hodnotu si Jirka rovněž nepamatuje.

Viktor si koupil nová bezdrátová sluchátka. Výrobce uvádí, že při maximální hlasitosti bude sluchátko hrát v typické vzdálenosti $l = 0{,}01 \mathrm{m}$ od ušního bubínku s hladinou intenzity $L\_I = 105 \mathrm{dB}$.

Nápověda: Hladinu intenzity definujeme jako: \[\begin{equation*} L = 10 \log \frac {I}{I_0} , \end {equation*}\] kde $I$ je intenzita zvuku, $I_0 = 10 \cdot 10^{-12} \mathrm{W\cdot m^{-2}}$ odpovídá přibližně intenzitě nejslabšího zvuku, který jsme schopni slyšet, (s hladinou intenzity $0 \mathrm{dB}$) a $\log x$ je funkce logaritmus.

1. Jaký bude akustický výkon sluchátka při maximální hlasitosti?
2. Jaký bude podíl energie využité na reprodukování hudby a celkové energie akumulátoru, jestliže sluchátko dokáže hrát na jedno nabití $t = 4 \mathrm{h}$? Sluchátko má v sobě zabudovaný akumulátor s napětím $U = 3{,}7 \mathrm{V}$ a nábojem $Q = 40 \mathrm{mAh}$.
3. Viktor ztratil sluchátko někde na louce, která je $a = 350 \mathrm{m}$ dlouhá a $b = 200 \mathrm{m}$ široká. Jaká je pravděpodobnost, že Viktor stojící uprostřed louky sluchátko po zapnutí na maximální hlasitost uslyší, jestliže hladina intenzity zvuku ze sluchátka by musela být u Viktora alespoň $45 \mathrm{dB}$?

Sluchátka můžeme aproximovat bodovým všesměrovým zdrojem.

Při přípravě pondělního oběda Soňa přemýšlela, jak je možné, že uvařený knedlík vyplave. Napadlo ji, že vařením změní hustotu. Změřte hustotu libovolného druhu knedlíku před vařením a po něm. Platí pro vámi zvolený knedlík Sonina domněnka?

1. Jaká maximální část primární duhy může být ze zemského povrchu vidět? Existuje nějaká poloha Slunce, pro kterou ji není možné vůbec pozorovat?
2. Jak široká je primární duha, vyjádřeno ve stupních? Předpokládáme, že na jednom okraji duhy je červené světlo, pro které má index lomu ve vodě hodnotu $n\_č=1{,}330$, a druhý okraj tvoří modré světlo s indexem lomu $n\_m=1{,}337$.