5. série 12. ročníku
Termín odeslání: 27. 3. 2023 20:00:00
1. Ztráty a nálezy
Vladi si na FYKOSí soustředění vozí čtyři propisky (červenou, zelenou, černou a modrou) a na každém soustředění ztratí tři z nich. Jaká je pravděpodobnost, že se s ní po čtyřech soustředěních vrátí domů tatáž červená propiska, se kterou vyrážela na první?
2. Zajímavý kvádřík
Verča doma našla zajímavý kvádřík s celočíselnými délkami hran a objemem 294 cm3. Tento kvádřík však není obyčejný. Pokud by se prodloužila jedna jeho hrana, vznikla by krychle. Pomozte Verče určit rozměry kvádru.
3. Zásah, potopená!
Po zásahu torpédem se ponorce porouchal motor a v trupu se objevila díra o obsahu S=90 cm2. Jak rychle musí námořníci díru ucpat, pokud mají v plánu následně opravit motor a s ponorkou se vynořit? Oprava motoru nebude možná, pokud do ponorky stihne natéct alespoň V=70 m3 vody. Předpokládejte, že ponorka bezprostředně po zásahu torpéda měkce dosedla na podmořský útes, který se nachází v hloubce h=120 m. Zanedbejte efekty způsobené stlačováním vzduchu v ponorce.
4. (Ne)stabilní filodendron
Viktor postavil na poličku nad Jardovým stolem filodendron v květináči, který se plazí po nehmotné tyči ze středu květináče. Ten má tvar válce o poloměru r=7 cm a hmotnosti m=350 g. Tyč je nakloněna vůči vodorovné rovině pod úhlem 60 ∘. Filodendron roste rychlostí 4 mm za den. V době posledního měření měl délku l0=30 cm a má délkovou hustotu (tedy hmotnost připadající na jednotku délky) λ=1,5 g⋅cm−1. Za jak dlouho se filodendron převáží a spadne Jardovi na stůl?
5. Jáma a kyvadlo
Malý Edgar si hrál s kuličkami různých hmotností. Našel jamku o hloubce h=15 cm a umístil do ní kyvadélko s délkou závěsu l=20 cm, které se v jamce může volně kývat tak, že se ve svém nejnižším bodě nachází těsně nad dnem jamky. Na kyvadélko připevnil kuličku o hmotnosti m=10 g, vychýlil ho o úhel 90 ∘ a nechal tuto kývající se kuličku narážet do kuliček, které položil na dno jamky.
- Napřed pod kyvadélko umístil kuličku o stejné hmotnosti m, vychýlil kyvadélko o úhel 90 ∘ a pustil kuličku. Tato kulička se pak v nejnižším bodě své trajektorie dokonale pružně srazila s kuličkou na zemi.
Jakou rychlostí se bude nepřipevněná kulička pohybovat v okamžiku těsně po srážce? Stačí jí tato rychlost na to, aby unikla z jamky?
- Poté Edgar pod kyvadélko umístil kuličku s dvakrát větší hmotností. Unikne z jamky tato kulička? Pokud ne, kam nejvýše se dostane?
- Co se stane, pokud Edgar na kuličku z předchozí úlohy připevní nehmotnou plastelínu, která zajistí, že se kuličky při srážce k sobě dokonale přilepí? Jaká bude nyní rychlost kuliček po srážce?
V celé úloze předpokládejte, že se po srážce kuličky pohybují stále po stejné přímce a zanedbejte všechny odporové síly.
E. Kapesníková
Robert byl společně s dalšími organizátory Výfuku v čajovně. Při náročném vymýšlení úloh se mu podařilo rozlít kalíšek čaje na stůl tak, že ani trochu nesteklo na zem. Robert ihned vytáhl suchý kapesník a začal čaj utírat. Když kapesník už nic nenasál, Robert ho nechal okapat nad stolem, načež ho přemístil nad kalíšek a vyždímal čaj zpátky do kalíšku. Takto použitý kapesník vyhodil. Zajímalo by ho však, jakou část objemu čaje se mu podařilo zachránit a jaká část zůstala navždy v použitém kapesníku.
Pomozte Robertovi a experimentálně zjistěte, kolik procent objemu tekutiny lze výše popsaným způsobem zachránit. Místo čaje použijte vodu. Pro zvýšení přesnosti měření můžete rozlít větší objem vody a použít více kapesníků. Dejte si však pozor, abyste použitý vyždímaný kapesník vždy hned vyhodili a vodu nasávali novým, suchým kapesníkem.
K následující úloze se vztahuje i tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt v naší brožurce výše.
V. Srovnávací
S modelem atomu se můžete setkat na každém kroku. Téměř všechny jsou ale nepřesné co se parametrů dráhy elektronu týče.
- Spočítejte, v jaké vzdálenosti od jádra obíhá elektron podle Bohrova modelu v kationtu hélia He+. Výsledek vyjádřete v jednotkách Å (angstrom, Å=10−10m). Uvažujte, že se elektron nachází v základním stavu (tedy s hlavním kvantovým číslem rovným jedné).
- Při porovnávání velikosti jádra s velikostí celého atomu proslulo přirovnání k zrnku a fotbalovému hřišti. Jaký poloměr by musel mít fotbalový stadion coby elektronový obal z předchozí úlohy, aby makové zrno o poloměru 1 mm představovalo jádro hélia o poloměru 0,5 fm?
- Další zajímavou veličinou charakterizující v Bohrově modelu pohyb elektronu kolem jádra je frekvence oběhu. Určete, kolikrát za sekundu elektron dle Bohrova modelu naše jádro hélia oběhne.