1. série 14. ročníku

Organizátoři se chystají na akci Výfuku. Viktor však nechtěl ostatním organizátorům usnadnit cestu, a proto jim neprozradil přesnou polohu setkání. Místo toho jim pouze sdělil vzdálenost místa srazu od jejich aktuální polohy „vzdušnou čarou“. Soňa se nachází v Praze a ví, že od ní je neznámé město vzdáleno $166 \mathrm{km}$. Od Hedvi v Třebíči je zase místo setkání ve vzdálenosti $116 \mathrm{km}$ a od Adama v Brně je to $100 \mathrm{km}$ daleko. Ve kterém městě se organizátoři potkají?

Poznámka: Je možné, že se vám kvůli technickým nepřesnostem nepodaří určit správné město. Zaměřte se proto primárně na popis postupu řešení.

Soňa, unavená po celodenní práci, si šla doplnit energii jídlem. Vzala si talíř červeného zelí, misku bílého zelí, kus kachny, chléb se škvarkovou pomazánkou a koláček. Na kolik způsobů může celou svou hostinu sníst, liší-li se jednotlivé způsoby pouze pořadím těchto pěti jídel? Má to však háček, neboť pokud sní před a zároveň po sladkém jídle něco slaného, bude Soni špatně. Z kolika variant jí špatně nebude?

Viktor si koupil plastové pravítko dlouhé $l = 50 \mathrm{cm}$. Předpokládejme, že tato vzdálenost odpovídá vzdálenosti mezi ryskami s označením „$0 \mathrm{cm}$“ a „$50 \mathrm{cm}$“ při teplotě $t_1 = 25 \mathrm{\C }$. Jak se změní tato vzdálenost, pokud bude Viktor měřit na Antarktidě při teplotě $t_2 = - 60 \mathrm{\C }$? Koeficient teplotní délkové roztažnosti plastu, z něhož je pravítko vyrobeno, je $\alpha = 2{,}5 \cdot 10^{-4} \mathrm{K^{-1}}$. Srovnejte svůj výsledek s typickou nepřesností uvažovanou u pravítka s nejmenším dílkem stupnice o velikosti $1 \mathrm{mm}$.

Jirka se rozhodl pořídit si na kolej boxovací pytel. Narazil však na problém, jak pytel správně upevnit. Nakonec přišel s řešením pomocí jednoduché aparatury sestávající ze dvou ocelových trámů o délce $l = 1 \mathrm{m}$ se zanedbatelnou hmotností. Jeden trám připevnil svisle na zeď a druhý kolmo na první pomocí jednoho vrutu, jak lze vidět na obrázku. Na konec druhého trámu chtěl pověsit boxovací pytel. Vtom však zaváhal, zda takovou zátěž spojovací vrut vydrží. Poraďte Jirkovi, jakou maximální hmotnost může pytel mít, jestliže vrut má obsah průřezu $S = 0{,}5 \mathrm{cm^2}$, mez pevnosti v tahu $\sigma = 420 \mathrm{MPa}$ a trám má šířku $d = 10 \mathrm{cm}$.

Vojta si chtěl natočit vodu z kohoutku. Všiml si však, že průměr kohoutku je dvakrát větší než průměr hrdla jeho lahve. Jelikož nechce plýtvat vodou, vymyslel elegantní způsob, jak do lahve napustit vodu beze ztrát. Umístil lahev do výšky $h$ pod kohoutek a pustil vodu. Proud vody se při pádu zúžil a perfektně beze zbytku se napasoval do hrdla lahve.

1. Kolikrát menší je obsah průřezu hrdla lahve než obsah průřezu kohoutku?
2. Vojta jako znalý technik ví, že z kohoutku vytéká voda rychlostí $v$ svisle dolů. Vyjádřete v násobcích této rychlosti rychlost, kterou voda padá do hrdla lahve.
3. Stejně jako Vojta určete a obecně vyjádřete pomocí rychlosti $v$ a tíhového zrychlení $g$ výšku $h$, ve které se nacházel kohoutek nad hrdlem lahve.

Uvažujte, že se proud vody zužuje osově symetricky a nevznikají v něm žádné bublinky či mezery.

Anežka procházela kolem své bývalé školy, dívala se na okna v posledním patře a vzpomínala, jak z nich se spolužáky házeli na protější budovu podtácky. Přitom se zamyslela, jak vysoko vlastně okna jsou. Buďte jako Anežka! Ve svém okolí najděte nějakou vysokou stavbu (například panelový dům, vysílač, kostelní věž nebo rozhlednu) a alespoň třemi různými způsoby změřte její výšku. Následně zkuste srovnat přesnost jednotlivých metod měření.

Výfuček při práci na své zahrádce našel podivného brouka a rozhodl se jej prostudovat. Položil ho proto na stůl a podíval se na něj skrz lupu tvořenou tenkou spojnou čočkou s ohniskovou vzdáleností $f = 10 \mathrm{cm}$.

1. V jaké vzdálenosti od lupy se vytvořil obraz, jestliže se lupa nacházela ve vzdálenosti $a = 6 \mathrm{cm}$ nad broukem? Jedná se o skutečný nebo zdánlivý obraz? Výfuček namířil lupu tak, že se brouk nacházel v blízkém okolí osy čočky a zároveň byl v lupě vidět celý.
2. Jak široký byl tento obraz, pokud Výfuček změřil pravítkem, že brouk má šířku $y = 14 \mathrm{mm}$?
3. Říká se, že pro pozorování předmětů pouhým okem je optimální vzdálenost $L = 25 \mathrm{cm}$. Jaká je úhlová velikost brouka při takovém pozorování bez lupy? (Úhlová velikost se zde vztahuje k šířce brouka.)
4. Jaká byla úhlová velikost brouka při pozorování lupou, jestliže se Výfučkovo oko, kterým brouka pozoruje, nacházelo v ohnisku, tedy $10 \mathrm{cm}$ od lupy? Porovnejte tuto úhlovou velikost s úhlovou velikostí při pozorování bez lupy v předchozí podúloze.

První podúlohu řešte výpočtem. Druhou až čtvrtou můžete řešit početně nebo graficky.

Nápověda: Mohou vám pomoct obrázky ve Výfučtení.