6. série 10. ročníku

Organizátoři Výfuku přemýšleli, co si pořídí k výročí 10. ročníku, a napadlo je koupit si parník, aby s ním mohli brázdit Vltavu před budovou Matfyzu v Troji. Aby si jej ale mohli dovolit, potřebují naspořit 6,2 milionu korun. Momentálně mají dohromady pouze 5 milionů. Rozhodli se proto, že si své úspory uloží do banky s výhodným spořicím úrokem $2 \mathrm{\%}$ a počkají, až jim díky němu finance narostou.

Určete, za kolik let budou mít organizátoři Výfuku díky bance potřebných 6,2 milionu korun na koupi parníku.

Když hudební skupina Queen nahrávala svou ikonickou skladbu We Will Rock You, chtěla do rytmu písně přidat zvuk dupotu davu lidí. Jelikož u sebe ale zrovna neměla své věrné fanoušky, rozhodla se improvizovat. Napadlo ji nahrát několik po sobě jdoucích dupnutí, a tak vytvořit iluzi davu. Při pokusech se ale vyskytl problém – jak velké rozestupy mají zvuky tvořící davové dupnutí mít? Při pravidelných rozestupech bude výsledný zvuk připomínat spíše ozvěnu nežli dav. Pojďme jim pomoct!

Nahrávání skladby probíhá ve čtvercové místnosti o rozměrech $9\times 9$ metrů. Člen kapely Queen stojí $s = 1{,}5 \mathrm{m}$ od středu místnosti. Mikrofon je taktéž ve vzdálenosti $s$ od středu místnosti, ale na opačné straně. Při dupnutí vznikne zvuková vlna, která se bude pro zjednodušení pohybovat pouze dopředu a dozadu (vlna změní směr při nárazu do přední či zadní stěny místnosti). V jakých intervalech zaznamená mikrofon zvuk vytvořený jedním dupnutím? Popište prvních dvacet ozvěn a pokuste se vysvětlit, proč pravidelnost, která se v těchto intervalech nachází, způsobuje ozvěnu.

Dále víme, že nejkratší časový interval, za který hudebníci dokáží zopakovat dupnutí (např. pozastavením nahrávání), je $\tau = 10 \mathrm{ms}$. Zjistěte, v jakých intervalech (v násobcích $\tau $) od začátku nahrávání mají dupat, aby výsledný zvuk nezněl jako ozvěna jednoho dupnutí. Jak tyto násobky nazýváme?

Mějme nádobu tvaru krychle o hraně délky $30 \mathrm{cm}$, která je z jedné desetiny naplněna vodou. Jestliže do ní vložíme lodičku tvarem přibližně odpovídající kvádru o rozměrech $25 \times 7{,}0 \times 7{,}0 \mathrm{cm}$ a s poloviční hustotou ve srovnání s vodou, bude lodička na hladině plovat? Jaký objem vody by bylo třeba minimálně v nádobě mít, aby lodička plovala?

Uvnitř pračky se otáčí buben s frekvencí $f=480 \mathrm{rpm}$ (otáček za minutu), jehož osa je vodorovně se zemí. V bubnu se nachází mokré prádlo o hmotnosti $m=3 \mathrm{kg}$. To můžeme považovat za tuhé těleso s těžištěm vzdáleným $r=10 \mathrm{cm}$ od středu otáčení bubnu. Pokuste se odhadnout, jakou hmotnost $M$ by pračka musela mít, aby nezačala nadskakovat.

Na jedné pouti předváděl kouzelník magický trik: obecenstvu ukázal kouli, která byla z protilehlých stran přivázaná za provázek. Následně ale kouzlem dokázal kouli buď spustit dolů, nebo poslat nahoru. Přátelé Výfuku, kteří toto kouzlo viděli, se však nenechali oklamat a ihned prohlédli, že se o žádné kouzlo nejedná: v kuličce jsou totiž místo jednorožčích žíní dvě spojené kladky. Podívejme se na to, jak by soustava kladek mohla fungovat:

1. Mějme kladku o poloměru $r_1 = 10 \mathrm{cm}$, na které je ve středu připevněná menší kladka o poloměru $r_2 = 2{,} \mathrm{cm}$. Na větší kladce je připojen jeden kus provázku, který je kolem ní obmotaný. Stejně je to i na menší kladce, jen je provázek obmotán opačným směrem. Když zatáhneme za oba provázky, kterým směrem se soustava kladek začne otáčet? Připojte svůj nákres, aby vše bylo jasné. Jistě se bude hodit znalost momentů síly.
2. Jak jste z předchozí podúlohy jistě pochopili, při zatažení za oba konce nitě se celková délka nenamotané nitě prodlouží a kulička (při vhodné orientaci) stoupne. Kouzelník může šikovnou manipulací ruky vytvořit dojem, že nit se vůbec neprodlouží. Potřebuje k tomu však, aby se kulička chovala předvídatelně, tedy aby při prodloužení nenamotaných nití o $\Delta l$ kulička stoupla o tu samou délku $\Delta l$. Jaký musí být poměr $r_1/r_2$, aby toto bylo možné?

Zapomenout si cestou na nákup brýle je nepříjemné. Jako správní fyzikové si ovšem umíme poradit, a to rychlou výrobou spolehlivé lupy z materiálů, které máme jistě běžně po kapsách.

Vyrobte si doma spojnou čočku. Spoustu návodů můžete najít i na internetu,¹⁾ kreativitě se však meze nekladou. Můžete použít vše od hydrogelových kuliček, přes dna sklenic až po kapky vody. Postup výroby pečlivě zdokumentujte a změřte ohniskovou vzdálenost vaší čočky pomocí světla z velmi vzdáleného zdroje, jehož paprsky lze považovat za rovnoběžné. Takový zdroj je např. Slunce. Pro něj lze formulovat zobrazovací rovnici pro tenkou čočku, podle které je ohnisková vzdálenost rovna vzdálenosti čočky a místa, kde se paprsky zdroje soustředí do jednoho bodu.

Nezapomeňte uvést metodu měření a její přesnost.

Pavel doma našel šest identických dřevěných kvádříků o rozměrech $6\times 3\times 8 \mathrm{cm}$ a hmotnosti $100 \mathrm{g}$. Zajímalo by ho, jaké mají kvádry stabilní a vratké polohy. Která poloha jednoho kvádru je nejstabilnější a jaká je její stabilita? Předpokládejte, že kvádr je homogenní.

Následně Pavel zkoušel stavět most z kostek na hraně stolu. Nejdříve položil kvádr a vysunul ho do co nejzazší stabilní polohy. Poté přidal kvádr druhý a tak dále. Na jakou stranu kvádry pokládal, pokud chtěl mít most co nejdelší? Jaká je maximální délka mostu a bude jeho délka větší než délka jednoho z kvádříků?