6. série 14. ročníku

Výfuček dokáže porazit kohokoliv ve své oblíbené hře. Její pravidla jsou jednoduchá: Na stole leží 17 žetonů a dva hráči se po jednom tahu střídají v jejich odebírání. Hráč musí ve svém tahu odebrat právě 1, 2, nebo 3 žetony. Prohrává ten, kdo odebere poslední žeton(y).

Výfuček ze své šlechetnosti nechává vždy začínat soupeře. Dokážete odhalit Výfučkovu strategii? Pro které všechny počáteční počty žetonů by také fungovala?

Viktor si pořídil sud ve tvaru válce, aby mohl zachytávat dešťovou vodu na zalévání svých květin a šetřit tak přírodu. Sud má objem $V = 200 \mathrm{l}$ a výšku $h_1 = 120 \mathrm{cm}$. Před bouřkou byl sud prázdný, ale po ní hladina vody dosahovala $h_2 = 30 \mathrm{cm}$ pod jeho horní okraj. Voda do sudu stéká okapem ze střechy, která má plochu $S = 20 \mathrm{m^2}$ a sklon $\alpha = 60\dg $ (vůči vodorovné rovině). Pomůžete Viktorovi spočítat, kolik milimetrů srážek spadlo na metr čtvereční během bouřky?

Nápověda: Pokud během svého řešení nehodláte využít tzv. goniometrické funkce, může vám pomoci uvědomění, že vnitřní úhel $60\dg $ je velmi významný pro jeden konkrétní typ trojúhelníku.

Výfuček se rozhodl uspořádat letní táborák a opéct špekáčky. V noci ovšem pršelo a jeho připravené borové dřevo zmoklo. Suchá borovice má výhřevnost $4{,}4 \mathrm{kWh\cdot kg^{-1}}$. Jakou nejvyšší vlhkost (tj. množství vody v procentech celkové hmotnosti dřeva a vody) může dřevo mít, aby při jeho spálení uvolněná energie stále převyšovala energii potřebnou na odpaření obsažené vody, a Výfuček si tak mohl špekáčky opéct? Aby se voda při hoření rychle odpařila, je potřeba jí dodat energii $2{,}6 \mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}$.

Viktor s Jardou si hrají na dětském hřišti. Poté, co se sklouzli ze skluzavky vysoké $h = 4{,}5 \mathrm{m}$ (tzn. začátek skluzavky je $4{,}5 \mathrm{m}$ nad zemí), se vsadili, kdo dřív dokáže od spodního konce skluzavky poslat svůj mobilní telefon až nahoru. Jestliže má Jardův mobil s povrchem klouzačky koeficient smykového tření $f = 0{,}35$, jakou minimální rychlostí ho musí poslat, aby dojel až k jejímu hornímu konci? Skluzavka má po celé své délce konstantní sklon $\alpha = 30\dg $.

Vojta si hrál s Hot Wheels dráhou a sestrojil smyčku smrti s poloměrem $R$ jako na obrázku. Z rampy na ni pouštěl kuličku o poloměru $r$ a zajímalo ho, jestli kulička smyčkou projede.

1. Jakou rychlostí se bude kulička pohybovat, když od své výchozí polohy klesla o výšku $\Delta h$?
2. Z jaké nejmenší výšky $h\_{min}$ musí Vojta kuličku pustit, aby smyčkou projela?

Veškeré ztráty mechanické energie zanedbejte a uvažujte, že se kulička valí po dráze bez prokluzování.

Nápověda: Rotující kulička má kromě kinetické energie posuvného pohybu i energii kinetickou rotační, kterou pro plnou homogenní kouli valící se bez prokluzování rychlostí $v$ můžeme vypočítat jako \[\begin{equation*} E\_{rot} = \frac {1}{5}mv^2 , \end {equation*}\] kde $m$ je hmotnost koule.

Když šla jednou Verča ze školy, potkala Anežku, a jak už to bývá, dala se s ní do řeči. Po chvilce si však uvědomily, že se zapovídaly déle, než by se jim líbilo – čas běžel až moc rychle. Než se stihly rozloučit, zamyslely se, jakými způsoby se dá měřit čas a jak vlastně fungují přesýpací hodiny.

Pokuste se změřit rychlost vyprazdňování libovolné sypké suroviny (například mouky nebo písku) z (komolého) kužele v závislosti na poloměru spodního kruhového otvoru kužele. Dejte pozor na to, abyste vždy odsypávali stejné množství sypké suroviny.

1. Ve Výfučtení jsme dokázali, že pro $x \ll 1$ a přirozená $k$ platí aproximace $(1 + x)^k \approx 1 + kx$. Podobně dokažte, že se aproximace dá použít i pro záporná $k$ tím, že aproximaci dokážete alespoň pro $(1 + x)^{-1}$ a $(1 + x)^{-2}$. Uveďte celý postup řešení.
2. V blízkosti povrchu Země můžeme gravitační pole aproximovat jako homogenní a počítat s gravitačním zrychlením $a\_g \doteq 9{,}8 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Do jaké výšky $h$ nad povrchem bude rozdíl uvedené konstanty $a\_g$ a opravdové hodnoty zrychlení menší než $10 \mathrm{\%}$ opravdové hodnoty?
3. Možná víte, že pro teplotní délkovou roztažnost se uvádí vztah\begin{equation*}l = l_0\(1+\alpha \Delta t\) ,\lbl{R14S6U7-roztaznost}\end{equation*} kde $l_0$ je počáteční délka tělesa, $l$ je jeho koncová délka (tzn. délka po roztažení), $\Delta t$ značí změnu teploty a $\alpha $ tzv. koeficient teplotní délkové roztažnosti. Představme si, že máme tyč o délce $l_0$, následně zvýšíme její teplotu o $\Delta t$ a změříme její délku $l_1$. Poté ohřejeme tyč ještě jednou o $\Delta t$ a změříme její novou délku $l_2$. Na základě vzorce \eqref{R14S6U7-roztaznost} bychom měli naměřit \begin{equation*}l_2 = l_1\(1+\alpha \Delta t\) = l_0\(1+\alpha \Delta t\)\(1+\alpha \Delta t\) = l_0 \(1+\alpha \Delta t\)^2 .\end{equation*} Na problém bychom ale mohli nahlížet i tak, že jsme celkem ohřáli tyč o $2 \Delta t$, a délku $l_2$ spočíst jako\begin{equation*}l_2 = l_0 \(1+2\alpha \Delta t\) .\end{equation*} Který ze vzorců je ten správný? A proč?
4. Kromě délkové roztažnosti se také u pevných látek počítá i tzv. objemová roztažnost, která funguje na principu zvětšování objemu tělesa vlivem zvýšení jeho teploty. Platí pro ni obdobný vztah\[\begin{equation*}V = V_0\(1+\beta \Delta t\) ,\end{equation*}\] kde místo délek vystupují objemy a koeficient $\alpha $ je nahrazen tzv. koeficientem teplotní objemové roztažnosti $\beta $. Často se oba koeficienty spojují přibližným vztahem\[\begin{equation*}\beta = 3\alpha  .\end{equation*}\] Proč tomu tak je? Dokažte alespoň na dvou tvarem různých tělesech (např. na krychli a kouli).