3. série 12. ročníku

David se učí matematickou analýzu a čeká ho zkouška. Analýza je ale těžký předmět, takže se musí učit dlouho. Na úspěšné složení početní části zkoušky se musí učit alespoň 24 hodin. Víme, že spočítat jeden příklad na derivace funkcí mu trvá v průměru 3 minuty, příkladů na integrály spočítá za hodinu 12 a za 3 hodiny spočítá 16 diferenciálních rovnic. Před zkouškou si spočítal celkově 75 příkladů na derivace, 150 integrálů a 40 diferenciálních rovnic. Je David dostatečně naučený, aby zvládl zkoušku?

Aleš a Jirka jdou pěšky na setkání Výfuku, které se koná v Praze. Oba mají stejnou rychlost $v = 2 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, mají to stejně daleko a vyjdou ve stejnou chvíli. Každých $d = 200 \mathrm{m}$ je čeká na cestě přechod pro chodce (první přechod mají až $200 \mathrm{m}$ od domu), na kterém je vždy zelená $8 \mathrm{s}$ a červená $30 \mathrm{s}$. Všechny přechody přebliknou z červené na zelenou ve chvíli, kdy Jirka s Alešem vyjdou z domu. O kolik déle než Jirkovi trvá cesta Alešovi, pokud Jirkovi trvá $t = 18 \mathrm{min}$ a Aleš ze svého přesvědčení vždy čeká na přechodech na zelenou, zatímco Jirka chodí i na červenou? Jaká je optimální vzdálenost přechodů, aby oba došli ve stejnou chvíli?

Na vlaku jedoucím konstantní rychlostí $40 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ stojí zloděj Svatého grálu. Z věže vedle kolejí na něj číhá Indiana Jones připravený zkazit mu veškeré plány. V jisté chvíli mrskne svým bičem, který se namotá na most vedoucí přes koleje přesně v místě nad kolejnicemi. Nenamotaná část biče má délku $5 \mathrm{m}$. V jaké vzdálenosti bude nepřítel ve chvíli, kdy se Indy musí zhoupnout směrem kolmým na koleje, aby ho mohl srazit? Počítejte, že bič je nehmotný, úhlová výchylka napnutého biče od svislého směru je relativně malá a že Indyho už ze soubojů a bičování bolí ruce a chce tedy ve vzduchu strávit co nejméně času. Odpor vzduchu zanedbejte. Indy se aktivně neodráží, prostě se jen zhoupne.

Jirka si hrál se spojnou čočku a bodovým zdrojem světla. Když umístil zdroj světla do vzdálenosti $a = 12 \mathrm{cm}$ od čočky, vznikl za čočkou obraz ve vzdálenosti $a' = 6 \mathrm{cm}$. Potom vzal čočku i zdroj a umístil čočku do vzdálenosti $l = 10 \mathrm{cm}$ před zrcadlo, přičemž zachoval původní vzdálenost zdroje od čočky (zdroj se tedy nachází $22 \mathrm{cm}$ od zrcadla). Paprsky ze zdroje prošly čočkou a opět vytvořily za čočkou první obraz. Poté se ale odrazily od zrcadla, znovu prošly čočkou a vytvořily druhý obraz. Jak daleko od čočky vznikl druhý obraz?

Nápověda: Může se vám hodit tužka a pravítko nebo zobrazovací rovnice.

Jelikož čekání na zelenou na semaforu je někdy opravdu dlouhé, má Aleš spoustu času přemýšlet o netradičních fyzikálních úlohách. Jednou tak přemýšlel o elektronech a napadla ho myšlenka, zda by bylo možné z velkého množství elektronů vybrat pouze ty, které se pohybují nějakou konkrétní rychlostí, jenom s pomocí deskového kondenzátoru. (Deskový kondenzátor je součástka, která je tvořena dvěma rovnoběžnými deskami, které jsou nabity opačným nábojem.)

V obou podúlohách uvažujte, že Aleš má zdroj elektronů, z něhož všechny elektrony vylétávají ve stejném místě a stejným směrem. Dále uvažujte, že vzdálenost desek Alešova imaginárního kondenzátoru je $d = 1 \mathrm{mm}$, vzdálenost mezi konci kondenzátoru (tj. šířka kondenzátoru) je $l = 5 \mathrm{cm}$ a že na kondenzátoru je udržováno konstantní napětí $U = 10 \mathrm{mV}$. Také nejspíš budete potřebovat vědět, že hmotnost elektronu je $m = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \mathrm{kg}$ a jeho náboj je $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}$.

1. Nejprve Aleše napadlo, že by kondenzátor mohl umístit tak, aby do něj elektrony vletěly rovnoběžně s jeho deskami přesně v polovině mezi nimi (obr. ). Takto příliš pomalé elektrony narazí do kladně nabité desky. Jakou minimální rychlost $v_1$ musí elektron mít, aby vyletěl na druhé straně kondenzátoru?
   Poznámka: Nelekněte se, když vám vyjde hodně velká rychlost.
   
2. Poté ovšem Aleš dostal mnohem lepší nápad, který mu umožní získat pouze elektrony s přesně danou rychlostí. Kondenzátor nyní trochu natočí a elektrony do něj budou vstupovat v místě, kde je okraj kladně nabité desky kondenzátoru, tak, že jejich rychlost bude s deskou svírat úhel $\alpha $ (obr. ).
   Nejprve kvalitativně popište, jakým způsobem musíme zvolit úhel $\alpha $, aby kondenzátorem proletěly pouze elektrony s danou rychlostí. (Tedy aby elektrony s rychlostí větší nebo menší narazily do jedné z desek kondenzátoru.) Následně vypočítejte úhel $\alpha $ a počáteční rychlost $v_2$ elektronů, které proletí.
   

Nápověda 1: K výpočtům by se vám teoreticky mohlo hodit vědět, že elektrickou intenzitu uvnitř kondenzátoru můžeme vypočítat jako \[\begin{equation*} E = \frac {U}{d} \end {equation*}\] a že lze uvažovat, že všude mimo prostor mezi deskami kondenzátoru je intenzita elektrického pole nulová.

Nápověda 2: V druhé podúloze by se mohlo stát, že pro určení $\alpha $ a $v_2$ budete muset vyřešit soustavu dvou rovnic. V takovém případě doporučujeme, abyste se z nich nejprve pokusili vyjádřit hodnotu nějaké goniometrické funkce $\alpha $. Také by se vám mohl hodit vztah: \[\begin{equation*} \tan x = \frac {\sin x}{\cos x}  . \end {equation*}\]

Kapaliny se od plynů liší tím, že zatímco plyny se snaží rozprostřít do celého objemu nádoby, ve které se nachází, kapaliny se naopak shlukují do kapek. Příčinou tohoto shlukování jsou takzvané povrchové síly, které matematicky popisujeme pomocí veličiny nazývané povrchové napětí. Povrchové napětí se značí $\sigma $ a je definováno jako množství práce $\Delta W$, kterou musíme vykonat, abychom povrch kapaliny zvětšili o jednotkovou plochu $\Delta S = 1 \mathrm{m^2}$, tedy: \[\begin{align*} \Delta W &= \sigma \Delta S \\ \sigma &= \frac {\Delta W}{\Delta S}  . \end {align*}\] V praxi to znamená, že kapaliny s velkým povrchovým napětím (například rtuť) se snaží tvořit takové kapky, které mají co nejmenší povrch, což platí pro kapky ve tvaru kuliček.

Dalším příkladem je pak velikost kapek při odkapávání. Při oddělení kapky od zbytku kapaliny se totiž zvětší celkový povrch kapaliny (můžete si to představit tak, že jedna větší kapka má menší povrch než dvě menší kapky dohromady) a síla, která tuto změnu zajišťuje a tedy i koná práci, je tíha kapek. Větší povrchové napětí pak znamená větší kapky. Konkrétně se dá odvodit vztah: \[\begin{equation*} \sigma = \frac {mg}{\pi d} , \end {equation*}\] kde $m$ je hmotnost jedné kapky, $g$ je tíhové zrychlení a $d$ je průměr krčku kapky těsně před odkápnutím, který můžeme aproximovat průměrem otvoru, ze kterého kapalinu odkapáváme.

Měření povrchového napětí s využitím tohoto vztahu se nazývá kapková metoda. Pomocí této metody změřte povrchové napětí vody.

Jirka se jednoho dne vydal na menší plavbu po řece na voru. Cestou potkal Aleše, který dostal stejný nápad, a po chvilce se rozhodl, že by si s ním rád popovídal. Alešův vor se však nacházel až kousek za Jirkovým. Jirka je zdatný ve sportech a ví o sobě, že dokáže na zemi bez rozběhu snadno doskočit do vzdálenosti $D = 2 \mathrm{m}$. Když Jirka odhadl, že vzdálenost, do níž musí skočit, aby bezpečně dopadl na Alešův vor, je $d = 1{,}8 \mathrm{m}$, tak řekl: „Hravě to přeskočím!“. Zapomněl však, že se nenachází na zemi, ale na řece, kde se vor může bez tření pohybovat.

1. Podaří se Jirkovi bezpečně skočit na Alešův vor, pokud Jirka váží $m = 70 \mathrm{kg}$ a vor $M = 400 \mathrm{kg}$? Uvažujte, že je vor dost velký, takže se při odrazu nezmění jeho výška nad hladinou, ani nijak neovlivní svislou složku Jirkovy rychlosti.
   
2. Předpokládejme nyní, že vzdálenost vorů byla taková, že Jirka na Alešův vor doskočil. Jaký bude poměr rychlostí obou vorů (vůči hladině) poté, co Jirka dopadne na ten Alešův? Aleš váží také $m = 70 \mathrm{kg}$ a hmotnost jeho voru je rovněž $M = 400 \mathrm{kg}$.