5. série 12. ročníku

Vladi si na FYKOSí soustředění vozí čtyři propisky (červenou, zelenou, černou a modrou) a na každém soustředění ztratí tři z nich. Jaká je pravděpodobnost, že se s ní po čtyřech soustředěních vrátí domů tatáž červená propiska, se kterou vyrážela na první?

Verča doma našla zajímavý kvádřík s celočíselnými délkami hran a objemem $294 \mathrm{cm^3}$. Tento kvádřík však není obyčejný. Pokud by se prodloužila jedna jeho hrana, vznikla by krychle. Pomozte Verče určit rozměry kvádru.

Po zásahu torpédem se ponorce porouchal motor a v trupu se objevila díra o obsahu $S = 90 \mathrm{cm^2}$. Jak rychle musí námořníci díru ucpat, pokud mají v plánu následně opravit motor a s ponorkou se vynořit? Oprava motoru nebude možná, pokud do ponorky stihne natéct alespoň $V = 70 \mathrm{m^3}$ vody. Předpokládejte, že ponorka bezprostředně po zásahu torpéda měkce dosedla na podmořský útes, který se nachází v hloubce $h = 120 \mathrm{m}$. Zanedbejte efekty způsobené stlačováním vzduchu v ponorce.

Viktor postavil na poličku nad Jardovým stolem filodendron v květináči, který se plazí po nehmotné tyči ze středu květináče. Ten má tvar válce o poloměru $r = 7 \mathrm{cm}$ a hmotnosti $m = 350 \mathrm{g}$. Tyč je nakloněna vůči vodorovné rovině pod úhlem $60 \mathrm{\dg }$. Filodendron roste rychlostí $4 \mathrm{mm}$ za den. V době posledního měření měl délku $l_0 = 30 \mathrm{cm}$ a má délkovou hustotu (tedy hmotnost připadající na jednotku délky) $\lambda = 1{,}5 \mathrm{g\cdot cm^{-1}}$. Za jak dlouho se filodendron převáží a spadne Jardovi na stůl?

Malý Edgar si hrál s kuličkami různých hmotností. Našel jamku o hloubce $h = 15 \mathrm{cm}$ a umístil do ní kyvadélko s délkou závěsu $l = 20 \mathrm{cm}$, které se v jamce může volně kývat tak, že se ve svém nejnižším bodě nachází těsně nad dnem jamky. Na kyvadélko připevnil kuličku o hmotnosti $m = 10 \mathrm{g}$, vychýlil ho o úhel $90 \mathrm{\dg }$ a nechal tuto kývající se kuličku narážet do kuliček, které položil na dno jamky.

1. Napřed pod kyvadélko umístil kuličku o stejné hmotnosti $m$, vychýlil kyvadélko o úhel $90 \mathrm{\dg }$ a pustil kuličku. Tato kulička se pak v nejnižším bodě své trajektorie dokonale pružně srazila s kuličkou na zemi.
   Jakou rychlostí se bude nepřipevněná kulička pohybovat v okamžiku těsně po srážce? Stačí jí tato rychlost na to, aby unikla z jamky?
   
2. Poté Edgar pod kyvadélko umístil kuličku s dvakrát větší hmotností. Unikne z jamky tato kulička? Pokud ne, kam nejvýše se dostane?
   
3. Co se stane, pokud Edgar na kuličku z předchozí úlohy připevní nehmotnou plastelínu, která zajistí, že se kuličky při srážce k sobě dokonale přilepí? Jaká bude nyní rychlost kuliček po srážce?

V celé úloze předpokládejte, že se po srážce kuličky pohybují stále po stejné přímce a zanedbejte všechny odporové síly.

Robert byl společně s dalšími organizátory Výfuku v čajovně. Při náročném vymýšlení úloh se mu podařilo rozlít kalíšek čaje na stůl tak, že ani trochu nesteklo na zem. Robert ihned vytáhl suchý kapesník a začal čaj utírat. Když kapesník už nic nenasál, Robert ho nechal okapat nad stolem, načež ho přemístil nad kalíšek a vyždímal čaj zpátky do kalíšku. Takto použitý kapesník vyhodil. Zajímalo by ho však, jakou část objemu čaje se mu podařilo zachránit a jaká část zůstala navždy v použitém kapesníku.

Pomozte Robertovi a experimentálně zjistěte, kolik procent objemu tekutiny lze výše popsaným způsobem zachránit. Místo čaje použijte vodu. Pro zvýšení přesnosti měření můžete rozlít větší objem vody a použít více kapesníků. Dejte si však pozor, abyste použitý vyždímaný kapesník vždy hned vyhodili a vodu nasávali novým, suchým kapesníkem.

S modelem atomu se můžete setkat na každém kroku. Téměř všechny jsou ale nepřesné co se parametrů dráhy elektronu týče.

1. Spočítejte, v jaké vzdálenosti od jádra obíhá elektron podle Bohrova modelu v kationtu hélia $ \mathrm{He}^{+}$. Výsledek vyjádřete v jednotkách $\mathrm{\AA }$ (angstrom, $\mathrm{\AA } = 10^{-10}\;\mathrm{m}$). Uvažujte, že se elektron nachází v základním stavu (tedy s hlavním kvantovým číslem rovným jedné).
   
2. Při porovnávání velikosti jádra s velikostí celého atomu proslulo přirovnání k zrnku a fotbalovému hřišti. Jaký poloměr by musel mít fotbalový stadion coby elektronový obal z předchozí úlohy, aby makové zrno o poloměru $1 \mathrm{mm}$ představovalo jádro hélia o poloměru $0{,}5 \mathrm{fm}$?
   
3. Další zajímavou veličinou charakterizující v Bohrově modelu pohyb elektronu kolem jádra je frekvence oběhu. Určete, kolikrát za sekundu elektron dle Bohrova modelu naše jádro hélia oběhne.