4. série 12. ročníku

Lubor rád pozoruje Prahu ze svého pokoje. Po deštivém dnu zahlédl ve vzdálené kaluži odraz horního okraje budovy Matfyzu. Spočtěte výšku této budovy, pokud Lubor bydlí v 16. patře kolejí 17. listopadu, každé patro má výšku $3{,}5 \mathrm{m}$ a přízemí $5{,}5 \mathrm{m}$. Lubor měří asi $2 \mathrm{m}$ a poměr vzdálenosti mezi kaluží a kolejemi ku vzdálenosti mezi kaluží a Matfyzem je $5:1$. Předpokládejte, že kaluž a přízemí obou budov leží ve stejné nadmořské výšce. Budova má nejdříve přízemí, potom první patro.

Soňa si chce dát k večeři rybu. Podívá se proto, jaké ryby plavou v rybníce. Spatří dlouhé ryby, konkrétně dva lososy, tři kapry, jednoho candáta a tři štiky, i ryby krátké, tedy čtyři pstruhy, dva cejny, tři karasy a jednoho okouna. Soňa však jí jen dlouhé ryby, které se nevejdou na talíř, protože jinak má pocit, že se na ni ryba (i bez hlavičky) stále kouká. Jaká je pravděpodobnost v procentech, že když si Soňa uloví jednu náhodnou rybu, bude si ji chtít dát k večeři?

V první světové válce kromě obyčejných vojáků bojovalo také velké množství fyziků. Jedním z nich byl například ruský kosmolog Alexander Friedmann, který byl letcem pod carským režimem. Uvažujme, že se Friedmann během Brusilovy ofenzívy ve svém Murometu jal hrdinně bombardovat německou armádu. V jakém čase $t$ od přeletu ruského zákopu musí vyhodit bomby, aby zasáhl nepřátelskou kavalérii o rychlosti $v_1 = 40 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, která vyrazila ve stejný moment, kdy Friedmann přeletěl zákop ve vzdálenosti $d = 5 \mathrm{000 m}$? Letadlo letí ve výšce $h = 3 \mathrm{000 m}$ rychlostí $v_2 = 110 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$?

Viktor chtěl na schůzce organizátorů čepovat Kofolu, ale porouchalo se mu výčepní zařízení. Proto se rozhodl, že si vytvoří improvizované chladicí zařízení z kbelíku s vodou a ledem. Do vědra nalil 5 l ledové vody o teplotě $t\_v = 5 \mathrm{\C }$ a $5 \mathrm{kg}$ ledu o teplotě $t\_l = - 15 \mathrm{\C }$. Následně do něj ponořil nápojové vedení a začal točit Kofolu. Kolik Kofoly zvládne natočit, než se obsah kbelíku příliš ohřeje? Uvažujme zjednodušený model, ve kterém zanedbáme všechny tepelné ztráty do okolí. Dále budeme předpokládat, že chlazení bude probíhat do té doby, dokud bude mít obsah kbelíku nižší teplotu než vychlazená Kofola (o teplotě rovněž $t\_v = 5 \mathrm{\dg C}$). Počítejte s tím, že led se bude průběžně rozpouštět. Počáteční teplota Kofoly je $t_0 = 25 \mathrm{\dg C}$. Předpokládejte, že Kofola má stejné tepelné vlastnosti jako voda a dohledejte si potřebné konstanty.

Tom Cruise měl ve filmu Top Gun: Maverick za úkol připravit skupinu mladých vojáků na nebezpečnou misi. Součástí této mise bylo proletět ve stíhačce komplikovaným prostorem v omezeném čase. Let byl náročný i z důvodu velkých zrychlení, která Tom Cruise při letu pociťoval. Při jednom z manévrů napřed ve stíhačce stoupal pod úhlem $45 \mathrm{\dg }$ a poté provedl vertikální otočku o $90 \mathrm{\dg }$ tak, že na konci tohoto manévru klesal pod úhlem $45 \mathrm{\dg }$. Předpokládejte, že se během otočky stíhačka pohybovala po části kružnice rychlostí $300 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a že celý manévr trval 8 sekund.

1. Spočítejte velikost maximálního pocitového zrychlení, které Tom Cruise při tomto manévru pociťoval (manévrem rozumíme let stíhačky po zmíněné části kružnice za účelem změny směru letu).
   
2. Porovnejte ho s minimálním pocitovým zrychlením při manévru a určete poměr $a\_{max}/a\_{min}$.

Bonus: Tom Cruise si následně uvědomil, že způsob, kterým otočku provádí (tedy let po části kružnice), není zdaleka optimální. Zkuste se zamyslet nad tím, jaké může být nejmenší možné maximální zrychlení letadla. Následně také určete, po jaké trajektorii se letadlo v takovém případě bude pohybovat. Je to zároveň i trajektorie s nejmenším maximálním pocitovým zrychlením?

Poznámka: Pocitovým zrychlením rozumíme tíhu, kterou naše tělo pociťuje. Tedy například pokud stojíme v klidu na zemi, tak cítíme zrychlení $g = 9{,}81 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, i když naše tělo nezrychluje. Naopak astronauti na Mezinárodní vesmírné stanici se zrychleným pohybem pohybují, ale cítí stav beztíže.

Určete hustotu skla pomocí Archimédova zákona. Prázdnou skleněnou nádobu vložte do vody a přilévejte vodu, dokud její hrdlo není na úrovni hladiny. Z objemů skla, sklenice a nalité vody určete hustotu skla.

Přesnost metody porovnejte s dalším způsobem měření hustoty.

Výfuček se jako nadšený astronom jednoho jasného dne rozhodl vytvořit si vlastní dalekohled. Rozhodl se pro Newtonův typ, jelikož mu čočkové dalekohledy přišly na konstrukci moc jednoduché. Při výrobě si však zapomněl poznamenat všechny parametry dalekohledu. Jediné, na co si vzpomněl, byl zorný úhel okuláru $\text {fov} = 50 \mathrm{\dg }$ a světelnost $f/5$ (tedy $S = 1/5$). Výfuček však nechtěl odbíhat od pozorování pro pravítko, a proto se rozhodl chybějící údaje změřit pozorováním noční oblohy.

1. Nejprve namířil dalekohled na nebeský rovník. Pozorované pole zcela zmizelo za $\Delta t = 1 \mathrm{min}$. Jaké je zvětšení dalekohledu?
   
2. Poté spatřil dvojhvězdu, která se v dalekohledu již téměř jevila jako jeden samostatný zdroj světla. Vyhledal si, že skutečná úhlová vzdálenost obou složek dvojhvězdy je $\alpha = 0{,}35''$. Z doposud známých údajů určete průměr a ohniskovou vzdálenost objektivu a ohniskovou vzdálenost okuláru.
   
3. Výfučka dvojhvězda natolik zaujala, že se ji rozhodl vyfotit. Jakou největší velikost může mít strana jednoho pixelu kamery (pixely mají tvar čtverce), aby bylo na fotografii možné rozpoznat jednotlivé složky dvojhvězdy? Kamera je nejcitlivější klasicky v části spektra odpovídající viditelnému světlu.