4. série 10. ročníku

Robert bude mít za chvilku narozeniny, a tak si ještě chce užít svůj současný věk. Začal tedy vymýšlet různé příklady a spojitosti. Jelikož ale organizuje Výfuk, napadla ho slovní úloha s Výfučkem:

Před čtyřmi lety byl Výfuček přesně třikrát mladší, než je Robert teď, ale před dvěma lety byl Robert jen dvakrát starší než Výfuček v té stejné době. Kolik let je letos Robertovi?

Úlohu neřešte tak, že znáte momentální věk Výfučka, ale pomocí rovnic.

Petr rád vaří a ví, že to umí. Proto se rozhodl udělat si guláš. Rozkrojil cibuli na dvě stejné půlky a jednu polovinu začal krájet rychlostí $\xi _1=15 \mathrm{kostek\cdot s^{-1}}$ (malé řecké xí).

V tom však přišla do místnosti Monika přesně ve chvíli, kdy Petr dokrájel první polovinu cibule. Petr ví, že se holkám líbí, když vaří, takže se zarděl a zpomalil svou rychlost krájení cibule na $\xi _2=10 \mathrm{\text {kostek}\cdot s^{-1}}$. Jaká byla jeho průměrná rychlost krájení cibule $\overline {\xi }$?

Nápověda:: Není to $(\xi _1+\xi _2)/2$.

Výfuček zbožňuje kovbojské historky, hlavně je-li sám hlavním hrdinou. Nejraději vypráví, jak sám zatočil s nezvaným pozorovatelem. V dávných dobách, kdy ještě nikdo soudně neřešil sestřelení dronu kamenem, spatřil kovboj Výfuček pod úhlem $45\dg $ ve vodorovné vzdálenosti $80{,}0 \mathrm{m}$ cizí dron, jak mu rychlostí $39{,}6 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ vodorovně letí okoukat měření experimentální úlohy. Jal se tedy bleskově zkonstruovat odstředivý prak, aby dron sestřelil právě ve chvíli, kdy prolétal nad ním. Kolik času na sestavení praku Výfuček měl, aby dron ještě stihl trefit, letí-li střela z praku počáteční rychlostí $44{,}0 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$? Kdyby prak dokázal vyrobit mnohem rychleji, jak brzy od spatření dronu už může střílet, aby ho sestřelil? Jak by se situace změnila, pokud by mohl Výfuček vystřelit kámen mnohem rychleji? Jaký je pak nejdelší časový úsek, který má k sestavení praku teoreticky k dispozici? A je vůbec Výfučkova historka reálná?

Těžko dohledat, kdy lidé objevili fyzikální princip kladky. Spojení kladek do kladkostroje však poprvé podle pověsti vymyslel již Archimédes, když s jeho pomocí dokázali obyvatelé Syrakus zavléct plně naloženou nákladní loď do přístavu.

Jeden příklad soustavy kladek se nazývá přímo Archimédův kladkostroj a vypadá jako $n$ volných kladek zapojených vždy jedna na druhou spolu s jednou pevnou kladkou. Kladkostroj pro $n=3$ můžete vidět na obrázku.

Aby Archimédes přesvědčil obyvatele Syrakus o užitečnosti svého vynálezu, využil kladkostroj, aby sám nadzvedl celou loď. Kolik volných kladek musel Archimédes takto zapojit za sebe, pokud dokáže tahat silou nejvýše $F=500 \mathrm{N}$ a potřebuje nadzvednout loď o hmotnosti $M=200 \mathrm{t}$?

Vzducholodě mají velmi náročný život. Vztlaková síla zodpovědná za jejich let se obyčejně lehce spočítá, nicméně v případě vzducholodě se vnější a dost často i vnitřní podmínky během letu mění. Aby vzducholoď nespadla, musí se tedy neustále regulovat příliv horkého vzduchu.

Představte si třeba, že vzducholoď vylétne ráno, kdy je teplota vzduchu $T_1=5{,}00 \mathrm{\C }$ a jeho hustota je $\rho _0 = 1{,}268 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Uvažujme např. vzducholoď Hindenburg o objemu plynu $V=200\;000 \mathrm{m^3}$, která je naplněna vodíkem s hustotou $\rho _1 =0{,}087\;2 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Hmotnost konstrukce vzducholodi je $m=50 \mathrm{t}$.

• Jakou užitečnou hmotnost unese?

Uplyne nějaký čas a již je odpoledne, okolní vzduch se oteplí na $T_2=10{,}0 \mathrm{\C }$, zatímco tlak zůstane zhruba stejný.

• Oteplením se ale změní hustota vzduchu, vypočítejte jak moc, je-li počáteční hustota vzduchu rovna $\rho _0$.
  Pro výpočet můžeme považovat vzduch za tzv. ideální plyn, pro který platí tzv. Gay-Lussacův zákon. Tento zákon říká, že pro objem ideálního plynu $V$ a jeho teplotu $T$ platí, že jejich poměr je za stálého tlaku konstantní, tedy

\[\begin{equation*} \frac {V}{T} = \mathrm{konst.} \end {equation*}\] Pozor, aby tento vzorec platil, musíte použít teplotu v jednotkách Kelvin (tzv. termodynamická teplota). Po této atmosferické změně však vzducholoď musí něco udělat, nebo spadne.

• Jakou hustotu musí mít vodík, aby se rozepjal dost na to, aby ani při zvýšené teplotě okolního vzduchu vzducholoď neklesala? Nezapomeňte, že objem vaku s vodíkem se mění, ale hmotnost vzducholodi zůstává konstantní.

Hustotu vodíku mohou technici ve vzducholodi regulovat pomocí teploty – mohou vodík zahřívat nebo ochlazovat pomocí kotlů. Tlak vodíku ve vzducholodi musí přitom zůstávat stejný jako vnější atmosferický tlak, který uvažujeme, že se nemění.

• Na jakou teplotu musí zatopit ve vzducholodi, aby se vodík dostal na požadovanou hustotu? Počítejte, že vodík se chová jako ideální plyn.

Nebezpečí vzducholodí poháněných vodíkem spočívá ve velké vznětlivosti tohoto prvku. Ani používáním nevýbušného prvku se však všem nebezpečím nevyhneme. Může se totiž stát, že např. vlivem silného slunečního svitu se plyn ve vzducholodi ohřeje a vzducholoď začne stoupat. Kvůli slunci ztratí technici možnost chladit vodík a začne jim hrozit velké nebezpečí: vzducholoď může prasknout. Samozřejmě, tomuto jevu se můžou technici bránit upuštěním vodíku. Je však třeba reagovat rychle.

Změřte hustotu vody takzvanou substituční metodou. To znamená: vytvořte pevné těleso, které má stejnou hustotu (podíl celkové hmotnosti ku celkovému objemu) jako voda (to poznáte tak, že pokud ho nahradíme vodou, nic se nestane, jinak řečeno: nebude stoupat ani klesat, i když bude zcela ponořeno). Změřte přímo jeho hustotu vážením a měřením a zdokumentujte váš postup výroby.

Svou technologii prověřte vyrobením druhého tělesa pro změření hustoty jiné kapaliny dle vašeho výběru (oleje, medu, octa či čehokoli jiného, zdraví neškodného).

Výsledky poté ověřte u obou kapalin přímým měřením objemu a hmotnosti. Tabulkové hodnoty zde nemají využití, zaměřte se spíše na míru nejistoty vašeho výsledku u obou metod.

Exoplaneta rovnoměrně obíhá kolem mateřské hvězdy po kruhové dráze s poloměrem $0{,}100 \mathrm{au}$ a periodou $4{,}00 \mathrm{dny}$. Zákryt mateřské hvězdy trvá $2{,}00 \mathrm{hodiny}$. Od začátku zákrytu po okamžik, kdy se už pozorovaná intenzita nemění, uplyne $30{,}0 \mathrm{minut}$. Zastávka v minimu tedy trvá hodinu. Nakreslete světelnou křivku tranzitu exoplanety i s vhodnými popisky os. Určete poloměr mateřské hvězdy a poloměr exoplanety, pokud víme, že se soustava nachází velmi daleko od nás (paprsky přicházejí zhruba rovnoměrně) a že se nacházíme v rovině oběhu planety.