Zadání 1. série 16. ročníku

Tato úloha je určena pouze pro žáky šestých a sedmých ročníků.

Když se organizátoři Výfuku potřebují dostat z vysokoškolských kolejí, mohou jet jednou ze tří autobusových linek. První autobus odjíždí každých 6 minut, druhý každých 9 minut a třetí jede ze zastávky každých 5 minut. Právě je 15:00 a ze zastávky vyjíždějí všechny tři linky zároveň. Kolikrát v následující hodině (15:01 až 16:00) pojede ze zastávky alespoň jeden autobus a organizátoři se tak budou moct dostat pryč z kolejí? Všechny autobusy jezdí načas.

Lukáš si chce postavit klasický domeček z karet a zajímá ho, na kolik pater mu bude stačit jeden balíček. Patra domečku se číslují odshora dolů. Patro úplně nahoře tedy bude první, spodní bude $n$-té. V $n$-tém patře je vedle sebe vždy $n$ dvojic karet postavených do stříšky. Mezi každými dvěma sousedními stříškami je položena jedna další karta (viz obrázek třípatrového domečku). Kolik pater Lukáš maximálně postaví pomocí jednoho balíčku o 52 kartách?

Když Kačka nedávno sledovala dokument o letounech, nejvíce ji fascinovalo přistávání stíhaček na letadlových lodích. Zajímalo ji, jak může tak obrovská věc bezpečně zastavit na tak malém kousku paluby. Vyhledala si proto podrobnosti o jednom konkrétním přistání. Zjistila, že stíhačka o hmotnosti $m = 15\,\mathrm{t}$ dosedá na palubu rychlostí $v = 240\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. V okamžiku doteku se její záďový hák zachytí o brzdicí lano, které ji bez použití jakýchkoliv jiných brzd rovnoměrně zpomaluje až do úplného zastavení na dráze dlouhé $l = 90\,\mathrm{m}$.

Stejně jako Kačka určete velikost průměrné brzdné síly $F$, kterou lano působí na hák stíhačky během přistávání, a spočítejte také celkovou dobu $t$, za kterou stíhačka od zachycení lana zcela zastaví.

Max se jednou v noci začetl do dokumentů o motorech amerického raketoplánu. Zjistil, že u jednoho z jeho manévrovacích motorů byl přívod paliva do spalovací komory zajištěn pouze vysokým tlakem v nádržích. Aby byl i při vyprazdňování nádrží tlak stálý, nádrže se průběžně plnily heliem. Po celý let se teplota v nádržích neměnila. Každý motor měl palivové nádrže o celkovém objemu $5{,}09\,\mathrm{m^3}$, které byly pomocí helia celou dobu drženy pod tlakem $1{,}7\,\mathrm{MPa}$. Max bohužel nenašel, jak velká byla nádrž na helium, zjistil ale, že měla tvar koule a že každý motor měl svou vlastní nádrž na helium. Ze začátku, když byly palivové nádrže plné, v ní byl tlak $33\,\mathrm{MPa}$. Po vyprázdnění palivových nádrží musel zůstat v nádrži na helium tlak alespoň $3{,}2\,\mathrm{MPa}$. Jaký nejmenší poloměr mohla mít nádrž s héliem?

Viktora zajímalo, jak dlouho by trvalo vypustit všechnu dešťovou vodu z nádrže, která má tvar krychle o výšce $H = 1\,\mathrm{m}$. Nádrž ale zrovna byla plná jen ze $70\,\mathrm{\%}$ a jemu se nechtělo čekat, až zbytek naprší. Viktor tedy bez čekání otevřel ventil ve spodní části nádrže. Zapomněl však otevřít vzduchotěsné víko na nádrži, a tak vytékáním vody začal v nádrži vznikat podtlak. Po chvíli zjistil, že voda přestala z nádrže vytékat. Pomozte mu spočítat, v jaké výšce $h_{\mathrm{e}}$ se hladina ustálila.

1. Vyjádřete původní výšku hladiny $h_0$ v nádrži a určete, jak závisí objem části nádrže naplněné vzduchem $V_{\mathrm{vz}}$ na výšce hladiny vody v nádrži $h$.

2. Za předpokladu, že je děj probíhající se vzduchem při vypouštění nádrže izotermický, určete závislost tlaku vzduchu v nádobě $p_{\mathrm{vz}}$ na výšce hladiny vody.

3. Napište rovnici pro tlaky, která platí v situaci, kdy se hladina v nádobě ustálí a voda již dále nevytéká.

4. Určete výšku $h_{\mathrm{e}}$, na které se hladina vody v nádrži ustálila.

Potřebné konstanty si dohledejte.