5. série 14. ročníku

Adam s Michalem vozili na dvoukolovém vozíku z lesa pokácené klády dřeva. Na vozík naložili tři homogenní klády o stejných délkách a hmotnostech tak, jak je vidět na obrázku . Jelikož ale nedbale každou kládu položili do náhodné pozice, vozík se jim neustále převažoval. Aby tomu zamezili, chtěli celý vozík uvést do rovnovážné polohy (tzn. společné těžiště klád přesunout nad osu rotace kol). O jakou vzdálenost a jakým směrem mají posunout kládu označenou písmenem $\bod {A}$, aby této rovnováhy dosáhli? Předpokládejte, že těžiště vozíku se nachází nad osou rotace kol a že kláda $\bod {A}$ leží po posunutí stále rovnoběžně s kládami $\bod {B}$ a $\bod {C}$.

Výfuček myslí na budoucnost planety, a proto by chtěl zajistit dostatek energie z obnovitelných zdrojů, primárně ze Slunce. Solární panely však zabírají až moc místa, takže Výfučka napadlo, že by je mohl umístit na jinou planetu. Ale na kterou? V užším výběru mu zůstali dva kandidáti: Merkur a Jupiter. Kdyby jednu z těchto planet celou pokryl solárními panely (pro potřeby této úlohy uvažujte, že to je možné), ze které by mohl odebírat více energie a kolikrát více by to bylo? Poloměry planet, jejich vzdálenost od Slunce a další potřebné konstanty si dohledejte.

Když se Výfuček naposledy nudil, vyrobil si vskutku netradiční kladkostroj (viz obrázek ), lano se u něj v jednom místě totiž rozděluje. Na jednom konci visí závaží o hmotnosti $m_1 = 10 \mathrm{kg}$. Druhý konec pokračuje dále přes několik kladek. Druhé závaží váží $m_2 = 50 \mathrm{kg}$. Díky tomu může Výfuček zvedat obě závaží zároveň. Jakou silou musí Výfuček tahat, aby se obě závaží začala zvedat? Předpokládejte, že se během pohybu bod rozdvojení lana příliš neposune. ]

Peťa dostal k narozeninám auto na dálkové ovládání o hmotnosti $m = 0{,}80 \mathrm{kg}$ a rozhodl se, že ho pořádně otestuje. Vyrobil si ze dřeva rampu o délce $s = 4{,}5 \mathrm{m}$, kterou upevnil pod úhlem $\alpha = 30 \mathrm{\dg }$ jako na obrázku . Za rampou vykopal prohlubeň, ze které auto vystřelí pod stejným úhlem $\alpha $ nahoru. Jaké největší výšky nad zemí auto dosáhlo, pokud motor působil při jízdě dolů po rovné části rampy silou $F = 5{,} \mathrm{N}$ a po vjetí do prohlubně byl vypnut? Veškeré ztráty mechanické energie (např. třením, odporem vzduchu, valivým odporem…) zanedbejte. Počítejte, že auto je malé a prohlubní bez problému projede.

Verča s Péťou se jeli projet autem a právě projíždí kruhovou dráhu s poloměrem $R = 400 \mathrm{m}$. Silnice je však nakloněna o $35 \dg $ vůči rovině (vnitřní oblouk silnice je níže než vnější). Verča má uvnitř auta $V = 450 \mathrm{ml}$ výběrové kávy v kelímku ve tvaru válce o poloměru $r = 4 \mathrm{cm}$ a s výškou $h = 10 \mathrm{cm}$. Nádoba je pevně uchycena k interiéru auta. Jaká je nejmenší a největší rychlost, kterou můžou Verča s Péťou po okruhu jet, aby se kafe nevylilo?

Výfučka velmi zaujaly magnety. Pokuste se stejně jako on změřit, jakou silou je přitahován magnet k dané feromagnetické kovové ploše v závislosti na vzdálenosti, která jej od kovové plochy dělí. Pokuste se nalézt vzdálenost, v níž se přitažlivá magnetická síla mezi plochou a magnetem vyrovná s tíhovou silou magnetu. Měření proveďte alespoň pro 5 různých vzdáleností. Měnit vzdálenost mezi deskou a magnetem můžete například postupným vkládáním listů papíru mezi ně. Mějte však na paměti, že i papíry mají nějakou tíhu, kterou mohou přispívat k síle oddělující magnet od desky.

Monča s Anežkou šly do své oblíbené cukrárny slavit úspěšný konec semestru a koupily si dohromady 8 různých zákusků.

1. Anežka má však intoleranci na laktózu, a proto si může vzít jen některé z dortů. Kolika způsoby si mohou zákusky rozdělit, pokud jsou právě 4 dorty bezlaktózové a každá z nich chce dostat alespoň jeden dortík?
2. Jaký by byl počet způsobů, kdyby se Anežka o každý dort s laktózou, který by na ni připadl, rozdělila s Lukášem a rozdělení dortů by tak nebylo závislé na obsahu laktózy?
3. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 8 různými náhodně koupenými zákusky bude alespoň jeden bezlaktózový? A jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude právě polovina bezlaktózových? Pravděpodobnost, že si vyberou dort s laktózou, je stejná jako pravděpodobnost, že si vyberou dort bez laktózy.