Processing math: 100%

6. série 14. ročníku

 Přejít do archivu

Výfučí bingo Jak psát řešení

Termín odeslání: 26. 5. 2025 20:00:00

 1. Výfuček triumfuje

6
7
(5 bodů)

Výfuček dokáže porazit kohokoliv ve své oblíbené hře. Její pravidla jsou jednoduchá: Na stole leží 17 žetonů a dva hráči se po jednom tahu střídají v jejich odebírání. Hráč musí ve svém tahu odebrat právě 1, 2, nebo 3 žetony. Prohrává ten, kdo odebere poslední žeton(y).

Výfuček ze své šlechetnosti nechává vždy začínat soupeře. Dokážete odhalit Výfučkovu strategii? Pro které všechny počáteční počty žetonů by také fungovala?

 2. Průtrž mračen

6
7
8
9
(5 bodů)
figure

Viktor si pořídil sud ve tvaru válce, aby mohl zachytávat dešťovou vodu na zalévání svých květin a šetřit tak přírodu. Sud má objem V=200l a výšku h1=120cm. Před bouřkou byl sud prázdný, ale po ní hladina vody dosahovala h2=30cm pod jeho horní okraj. Voda do sudu stéká okapem ze střechy, která má plochu S=20m2 a sklon α=60 (vůči vodorovné rovině). Pomůžete Viktorovi spočítat, kolik milimetrů srážek spadlo na metr čtvereční během bouřky?

Nápověda: Pokud během svého řešení nehodláte využít tzv. goniometrické funkce, může vám pomoci uvědomění, že vnitřní úhel 60 je velmi významný pro jeden konkrétní typ trojúhelníku.

 3. Problematické dřevo

6
7
8
9
(6 bodů)
figure

Výfuček se rozhodl uspořádat letní táborák a opéct špekáčky. V noci ovšem pršelo a jeho připravené borové dřevo zmoklo. Suchá borovice má výhřevnost 4,4kWhkg1. Jakou nejvyšší vlhkost (tj. množství vody v procentech celkové hmotnosti dřeva a vody) může dřevo mít, aby při jeho spálení uvolněná energie stále převyšovala energii potřebnou na odpaření obsažené vody, a Výfuček si tak mohl špekáčky opéct? Aby se voda při hoření rychle odpařila, je potřeba jí dodat energii 2,6MJkg1.

 4. Dlouhá skluzavka

6
7
8
9
(7 bodů)

Viktor s Jardou si hrají na dětském hřišti. Poté, co se sklouzli ze skluzavky vysoké h=4,5m (tzn. začátek skluzavky je 4,5m nad zemí), se vsadili, kdo dřív dokáže od spodního konce skluzavky poslat svůj mobilní telefon až nahoru. Jestliže má Jardův mobil s povrchem klouzačky koeficient smykového tření f=0,35, jakou minimální rychlostí ho musí poslat, aby dojel až k jejímu hornímu konci? Skluzavka má po celé své délce konstantní sklon α=30.

 5. Smyčka smrti

6
7
8
9
(8 bodů)
figure

Vojta si hrál s Hot Wheels dráhou a sestrojil smyčku smrti s poloměrem R jako na obrázku. Z rampy na ni pouštěl kuličku o poloměru r a zajímalo ho, jestli kulička smyčkou projede.

  1. Jakou rychlostí se bude kulička pohybovat, když od své výchozí polohy klesla o výšku Δh?
  2. Z jaké nejmenší výšky hmin musí Vojta kuličku pustit, aby smyčkou projela?

Veškeré ztráty mechanické energie zanedbejte a uvažujte, že se kulička valí po dráze bez prokluzování.

Nápověda: Rotující kulička má kromě kinetické energie posuvného pohybu i energii kinetickou rotační, kterou pro plnou homogenní kouli valící se bez prokluzování rychlostí v můžeme vypočítat jako Erot=15mv2, kde m je hmotnost koule.

 E. Tik tak, běží čas...

6
7
8
9
(8 bodů)
figure

Když šla jednou Verča ze školy, potkala Anežku, a jak už to bývá, dala se s ní do řeči. Po chvilce si však uvědomily, že se zapovídaly déle, než by se jim líbilo – čas běžel až moc rychle. Než se stihly rozloučit, zamyslely se, jakými způsoby se dá měřit čas a jak vlastně fungují přesýpací hodiny.

Pokuste se změřit rychlost vyprazdňování libovolné sypké suroviny (například mouky nebo písku) z (komolého) kužele v závislosti na poloměru spodního kruhového otvoru kužele. Dejte pozor na to, abyste vždy odsypávali stejné množství sypké suroviny.

K následující úloze se vztahuje i tzv. Výfučtení. To můžeš nalézt v naší brožurce výše.

 V. Zanedbávací

6
7
8
9
(7 bodů)
  1. Ve Výfučtení jsme dokázali, že pro x1 a přirozená k platí aproximace (1+x)k1+kx. Podobně dokažte, že se aproximace dá použít i pro záporná k tím, že aproximaci dokážete alespoň pro (1+x)1 a (1+x)2. Uveďte celý postup řešení.
  2. V blízkosti povrchu Země můžeme gravitační pole aproximovat jako homogenní a počítat s gravitačním zrychlením ag9,8ms2. Do jaké výšky h nad povrchem bude rozdíl uvedené konstanty ag a opravdové hodnoty zrychlení menší než 10% opravdové hodnoty?
  3. Možná víte, že pro teplotní délkovou roztažnost se uvádí vztahl=l0(1+αΔt), kde l0 je počáteční délka tělesa, l je jeho koncová délka (tzn. délka po roztažení), Δt značí změnu teploty a α tzv. koeficient teplotní délkové roztažnosti. Představme si, že máme tyč o délce l0, následně zvýšíme její teplotu o Δt a změříme její délku l1. Poté ohřejeme tyč ještě jednou o Δt a změříme její novou délku l2. Na základě vzorce (☺) bychom měli naměřit l2=l1(1+αΔt)=l0(1+αΔt)(1+αΔt)=l0(1+αΔt)2. Na problém bychom ale mohli nahlížet i tak, že jsme celkem ohřáli tyč o 2Δt, a délku l2 spočíst jakol2=l0(1+2αΔt). Který ze vzorců je ten správný? A proč?
  4. Kromě délkové roztažnosti se také u pevných látek počítá i tzv. objemová roztažnost, která funguje na principu zvětšování objemu tělesa vlivem zvýšení jeho teploty. Platí pro ni obdobný vztahV=V0(1+βΔt), kde místo délek vystupují objemy a koeficient α je nahrazen tzv. koeficientem teplotní objemové roztažnosti β. Často se oba koeficienty spojují přibližným vztahemβ=3α. Proč tomu tak je? Dokažte alespoň na dvou tvarem různých tělesech (např. na krychli a kouli).